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3.4. Allgemeine Theorie (Davies–Lewis–Ozawa)

Schließlich formulieren wir den allgemeinen Begriff des Quanteninstruments. Ein Superoperator, der eingreift Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \mathcal{L}(\mathcal{H})} heißt positiv, wenn es die Menge der positiven semidefiniten Operatoren in sich selbst abbildet. Wir bemerken das für jeden $x,\Im _{A}(x)$ gegeben durch (13) kann als lineare positive Abbildung betrachtet werden.

Im Allgemeinen jede Karte $x\rightarrow \Im _{A}(x)$ , wo für jeden Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} , die Karte Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Im_A(x)} ein positiver Superoperator ist, wird Davies-Lewis-Quanteninstrument (Davies und Lewis, 1970) genannt.

Hier Index Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle A} bezeichnet die an dieses Instrument gekoppelte Observable. Die Wahrscheinlichkeiten von Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle A} -Ergebnisse sind durch die Bornsche Regel in Form (15) und die Zustandsaktualisierung durch Transformation (14) gegeben. Yuen (1987) wies jedoch darauf hin, dass die Klasse der Davies-Lewis-Instrumente zu allgemein ist, um physikalisch nicht realisierbare Instrumente auszuschließen. Ozawa (1984) führte die wichtige zusätzliche Bedingung ein, um sicherzustellen, dass jedes Quanteninstrument physikalisch realisierbar ist. Dies ist die Bedingung vollständiger Positivität.

Ein Superoperator heißt vollständig positiv, wenn seine natürliche Erweiterung Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \jmath\otimes I} zum Tensorprodukt Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \mathcal{L}(\mathcal{H})\otimes\mathcal{L}(\mathcal{H})=\mathcal{L}(\mathcal{H}\otimes\mathcal{H})} liegt wieder ein positiver Superoperator an Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \mathcal{L}(\mathcal{H})\otimes\mathcal{L}(\mathcal{H})} . Eine Karte Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\rightarrow\Im_A(x)} , wo für jeden Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x} , die Karte Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Im_A(x)} ein vollständig positiver Superoperator ist, heißt Davies-Lewis-Ozawa (Davies und Lewis, 1970, Ozawa, 1984) Quanteninstrument oder einfach Quanteninstrument. Wie wir in Abschnitt 4 sehen werden, ist vollständige Positivität eine hinreichende Bedingung dafür, dass ein Instrument physikalisch realisierbar ist. Andererseits wird die Notwendigkeit wie folgt hergeleitet (Ozawa, 2004).

Alles beobachtbar Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle A} eines Systems Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle S} wird mit dem Beobachtbaren identifiziert ${\textstyle A\otimes I}$ eines Systems Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle S+S'} mit jedem System Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle S'} extern zuFailed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle S} .10

Dann jedes physikalisch realisierbare Instrument Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Im_A} messung Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle A} sollte mit dem Instrument identifiziert werden Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \Im_A{_\otimes}_I } messung Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle A{\otimes}I } so dass Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \Im_A{_\otimes}_I(x)=\Im_A(x)\otimes I } . Dies impliziert das Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \Im_A(x)\otimes I } ist wieder ein positiver Superoperator, so dass Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Im_A(x)} ist absolut positiv.

Ebenso jedes physikalisch realisierbare Instrument Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Im_A(x)} Messsystem Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle S} sollte sein erweitertes Instrument haben ${\textstyle \Im _{A}(x)\otimes I}$ Messsystem Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle S+S'} für jedes externe SystemFailed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle S'} . Dies ist nur dann erfüllt, wenn Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Im_A(x)} ist absolut positiv. Daher ist vollständige Positivität eine notwendige Bedingung für Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Im_A} ein physikalisch realisierbares Instrument zu beschreiben.

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-===3.4. General theory (Davies–Lewis–Ozawa)===
+===3.4. Allgemeine Theorie (Davies–Lewis–Ozawa)===
-Finally, we formulate the general notion of quantum instrument. A superoperator acting in <math display="inline">\mathcal{L}(\mathcal{H})</math> is called positive if it maps the set of positive semi-definite operators into itself. We remark that, for each '''<u><math>x,\Im_A(x)</math></u>'''  given by (13) can be considered as linear positive map.
+Schließlich formulieren wir den allgemeinen Begriff des Quanteninstruments. Ein Superoperator, der eingreift <math display="inline">\mathcal{L}(\mathcal{H})</math>heißt positiv, wenn es die Menge der positiven semidefiniten Operatoren in sich selbst abbildet. Wir bemerken das für jeden '''<u><math>x,\Im_A(x)</math></u>''' gegeben durch (13) kann als lineare positive Abbildung betrachtet werden.
-Generally any map<math>x\rightarrow\Im_A(x)</math>  , where for each <math>x</math>, the map <math>\Im_A(x)</math> is a positive superoperator is called ''Davies–Lewis'' (Davies and Lewis, 1970) quantum instrument.
+Im Allgemeinen jede Karte<math>x\rightarrow\Im_A(x)</math>  , wo für jeden <math>x</math>, die Karte <math>\Im_A(x)</math>ein positiver Superoperator ist, wird Davies-Lewis-Quanteninstrument (Davies und Lewis, 1970) genannt.
-Here index <math display="inline">A</math>  denotes the observable coupled to this instrument. The probabilities of <math display="inline">A</math>-outcomes are given by Born’s rule in form (15) and the state-update by transformation (14). However, Yuen (1987) pointed out that the class of Davies–Lewis instruments is too general to exclude physically non-realizable instruments. Ozawa (1984) introduced the important additional condition to ensure that every quantum instrument is physically realizable. This is the condition of complete positivity.
+Hier Index <math display="inline">A</math>  bezeichnet die an dieses Instrument gekoppelte Observable. Die Wahrscheinlichkeiten von <math display="inline">A</math>-Ergebnisse sind durch die Bornsche Regel in Form (15) und die Zustandsaktualisierung durch Transformation (14) gegeben. Yuen (1987) wies jedoch darauf hin, dass die Klasse der Davies-Lewis-Instrumente zu allgemein ist, um physikalisch nicht realisierbare Instrumente auszuschließen. Ozawa (1984) führte die wichtige zusätzliche Bedingung ein, um sicherzustellen, dass jedes Quanteninstrument physikalisch realisierbar ist. Dies ist die Bedingung vollständiger Positivität.
-A superoperator is called ''completely positive'' if its natural extension <math display="inline">\jmath\otimes I</math> to the tensor product  <math display="inline">\mathcal{L}(\mathcal{H})\otimes\mathcal{L}(\mathcal{H})=\mathcal{L}(\mathcal{H}\otimes\mathcal{H})</math> is again a positive superoperator on <math display="inline">\mathcal{L}(\mathcal{H})\otimes\mathcal{L}(\mathcal{H})</math>. A map <math>x\rightarrow\Im_A(x)</math> , where for each <math display="inline">x</math>, the map <math>\Im_A(x)</math> is a completely positive superoperator is called ''Davies–Lewis–Ozawa'' (Davies and Lewis, 1970, Ozawa, 1984) quantum instrument or simply quantum instrument. As we shall see in Section 4, complete positivity is a sufficient condition for an instrument to be physically realizable. On the other hand, necessity is derived as follows (Ozawa, 2004).
+Ein Superoperator heißt vollständig positiv, wenn seine natürliche Erweiterung <math display="inline">\jmath\otimes I</math> zum Tensorprodukt <math display="inline">\mathcal{L}(\mathcal{H})\otimes\mathcal{L}(\mathcal{H})=\mathcal{L}(\mathcal{H}\otimes\mathcal{H})</math> liegt wieder ein positiver Superoperator an <math display="inline">\mathcal{L}(\mathcal{H})\otimes\mathcal{L}(\mathcal{H})</math>. Eine Karte <math>x\rightarrow\Im_A(x)</math> , wo für jeden <math display="inline">x</math>, die Karte <math>\Im_A(x)</math>ein vollständig positiver Superoperator ist, heißt Davies-Lewis-Ozawa (Davies und Lewis, 1970, Ozawa, 1984) Quanteninstrument oder einfach Quanteninstrument. Wie wir in Abschnitt 4 sehen werden, ist vollständige Positivität eine hinreichende Bedingung dafür, dass ein Instrument physikalisch realisierbar ist. Andererseits wird die Notwendigkeit wie folgt hergeleitet (Ozawa, 2004).
-Every observable  <math display="inline">A</math> of a system <math display="inline">S</math> is identified with the observable <math display="inline">A\otimes I</math> of a system <math display="inline">S+S'</math> with any system <math display="inline">S'</math> external to<math display="inline">S</math> .10
+Alles beobachtbar <math display="inline">A</math> eines Systems <math display="inline">S</math> wird mit dem Beobachtbaren identifiziert <math display="inline">A\otimes I</math> eines Systems <math display="inline">S+S'</math> mit jedem System <math display="inline">S'</math>extern zu<math display="inline">S</math> .10
-Then, every physically realizable instrument  <math>\Im_A</math> measuring <math display="inline">A</math> should be identified with the instrument  <math display="inline">\Im_A{_\otimes}_I
+Dann jedes physikalisch realisierbare Instrument <math>\Im_A</math> messung <math display="inline">A</math> sollte mit dem Instrument identifiziert werden <math display="inline">\Im_A{_\otimes}_I
-</math> measuring <math display="inline">A{\otimes}I
+</math> messung <math display="inline">A{\otimes}I
-</math> such that <math display="inline">\Im_A{_\otimes}_I(x)=\Im_A(x)\otimes I
+</math> so dass <math display="inline">\Im_A{_\otimes}_I(x)=\Im_A(x)\otimes I
-</math>. This implies that <math display="inline">\Im_A(x)\otimes I
+</math>. Dies impliziert das <math display="inline">\Im_A(x)\otimes I
-</math> is agin a positive superoperator, so that <math>\Im_A(x)</math> is completely positive.
+</math> ist wieder ein positiver Superoperator, so dass <math>\Im_A(x)</math> ist absolut positiv.
-Similarly, any physically realizable instrument <math>\Im_A(x)</math> measuring system <math display="inline">S</math> should have its extended instrument  <math display="inline">\Im_A(x)\otimes I
+Ebenso jedes physikalisch realisierbare Instrument <math>\Im_A(x)</math> Messsystem <math display="inline">S</math> sollte sein erweitertes Instrument haben <math display="inline">\Im_A(x)\otimes I
-</math> measuring system <math display="inline">S+S'</math> for any external system<math display="inline">S'</math>. This is fulfilled only if  <math>\Im_A(x)</math> is completely positive. Thus, complete positivity is a necessary condition for <math>\Im_A</math> to describe a physically realizable instrument.
+</math> Messsystem <math display="inline">S+S'</math>für jedes externe System<math display="inline">S'</math>. Dies ist nur dann erfüllt, wenn  <math>\Im_A(x)</math>ist absolut positiv. Daher ist vollständige Positivität eine notwendige Bedingung für <math>\Im_A</math> ein physikalisch realisierbares Instrument zu beschreiben.