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8.2. Biologische Funktionen im Quanten-Markov-Rahmen

Wir wenden uns mit der GKSL-Gleichung der offenen Systemdynamik zu. In unserer Modellierung Hamiltonian Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \widehat{\mathcal{H}}} und Lindbladian Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \widehat{{L}}} stellen eine besondere biologische Funktion dar Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} (siehe Khrennikov et al., 2018) für Details. Seine Funktionsweise ergibt sich aus dem Zusammenspiel von internen und externen Informationsflüssen. In den Abschnitten 10, 11.3, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} ist eine psychologische Funktion; im einfachsten Fall Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} steht für eine gestellte Frage Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S} (sagen wir ist ein Mensch). In Abschnitt 7, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} ist die Genregulation des Glucose/Lactose-Stoffwechsels im Escherichia coli-Bakterium. In den Abschnitten 9, 11.2, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} stellt den Prozess der epigenetischen Mutation dar. Symbolisch biologische Funktion Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} wird als Quantenobservable dargestellt: Hermitianischer Operator Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \widehat{F}} mit der Spektralzerlegung Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \widehat{F}=\sum_xx\widehat{E}^F(x)} , wo Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} Label-Ausgänge von Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} . Die Theorie der Quanten-Markov-Zustandsdynamik beschreibt den Prozess der Erzeugung dieser Ausgaben.

Im mathematischen Modell (Asano et al., 2015b, Asano et al., 2017b, Asano et al., 2017a, Asano et al., 2015a, Asano et al., 2012b, Asano et al., 2011, Asano et al ., 2012a), die Ausgänge der biologischen Funktion

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so dass es der spektralen Zerlegung von entspricht Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \widehat{F}} ,d.h.

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wo

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_x\geq\sum_xp_x=1}

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Das bedeutet, dass Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \widehat{\rho}_{steady}} ist diagonal in einer orthonormalen Basis, die aus Eigenvektoren von besteht Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \widehat{F}} . Dieser Zustand, oder genauer gesagt, diese Zerlegung des Dichteoperators Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \widehat{\rho}_{steady}} , ist die klassische statistische Mischung der grundlegenden Informationszustände, die diese biologische Funktion bestimmen. Die Wahrscheinlichkeiten in der Zustandszerlegung (26) werden statistisch interpretiert.

Stellen Sie sich ein großes Ensemble von Biosystemen mit dem Zustand vor Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \widehat{\rho}_0} Interaktion mit der Umwelt Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon} . (Wir erinnern uns, dass die Interaktion mathematisch im Lindbladian kodiert ist Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \widehat{{L}}} ) Aus dieser Interaktion ergibt sich eine biologische Funktion Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} produziert Ausgabe Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} mit Wahrscheinlichkeit Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_x} .Wir bemerken, dass in den Operatortermen die Wahrscheinlichkeit ausgedrückt wird als Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_x=Tr\widehat{\rho}_{steady}\widehat{E}^F(x)}

Diese Interpretation kann sogar auf ein einzelnes Biosystem angewendet werden, das viele Male auf dieselbe Umgebung trifft.

Zu beachten ist dieser Grenzzustand Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \widehat{\rho}_{steady}} drückt die Stabilität gegenüber dem Einfluss der Betonumgebung aus Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon} . Natürlich würde in der realen Welt der Grenzzustand niemals erreicht werden. Die mathematische Formel (25) beschreibt den Prozess der Stabilisierung, Dämpfung von Schwankungen. Aber sie würden mit der Zeit nie ganz verschwinden.

Wir stellen fest, dass ein stationärer Zustand die stationäre GKSL-Gleichung erfüllt:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i[\widehat{H},\widehat{\rho}_{steady}]= \widehat{L}[\widehat{\rho}_{steady}]}

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (27)}

Es ist auch wichtig darauf hinzuweisen, dass im Allgemeinen ein stationärer Zustand der Quanten-Master-Gleichung nicht eindeutig ist, er hängt von der Klasse der Anfangsbedingungen ab.

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-===8.2. Biological functions in the quantum Markov framework===
+===8.2. Biologische Funktionen im Quanten-Markov-Rahmen===
-We turn to the open system dynamics with the GKSL-equation. In our modeling, Hamiltonian  <math>\widehat{\mathcal{H}}</math> and Lindbladian  <math>\widehat{{L}}</math> represent some special ''biological function'' <math>F</math> (see Khrennikov et al., 2018) for details. Its functioning results from interaction of internal and external information flows. In Sections 10, 11.3,  <math>F</math> is some ''psychological function''; in the simplest case <math>F</math> represents a question asked to  <math>S</math> (say  is a human being). In Section 7, <math>F</math>  is the ''gene regulation'' of glucose/lactose metabolism in Escherichia coli bacterium. In Sections 9, 11.2,  <math>F</math> represents the process of ''epigenetic mutation''. Symbolically biological function <math>F</math> is represented as a quantum observable: Hermitian operator  <math>\widehat{F}</math> with the spectral decomposition <math>\widehat{F}=\sum_xx\widehat{E}^F(x)</math>, where <math>x</math> labels outputs of <math>F</math>. Theory of quantum Markov state-dynamics describes the process of generation of these outputs.
+Wir wenden uns mit der GKSL-Gleichung der offenen Systemdynamik zu. In unserer Modellierung Hamiltonian  <math>\widehat{\mathcal{H}}</math> und Lindbladian <math>\widehat{{L}}</math> stellen eine besondere biologische Funktion dar <math>F</math>(siehe Khrennikov et al., 2018) für Details. Seine Funktionsweise ergibt sich aus dem Zusammenspiel von internen und externen Informationsflüssen. In den Abschnitten 10, 11.3,  <math>F</math>ist eine psychologische Funktion; im einfachsten Fall <math>F</math> steht für eine gestellte Frage <math>S</math> (sagen wir  ist ein Mensch). In Abschnitt 7, <math>F</math> ist die Genregulation des Glucose/Lactose-Stoffwechsels im Escherichia coli-Bakterium. In den Abschnitten 9, 11.2, <math>F</math> stellt den Prozess der epigenetischen Mutation dar. Symbolisch biologische Funktion <math>F</math>wird als Quantenobservable dargestellt: Hermitianischer Operator <math>\widehat{F}</math> mit der Spektralzerlegung <math>\widehat{F}=\sum_xx\widehat{E}^F(x)</math>, wo <math>x</math> Label-Ausgänge von <math>F</math>. Die Theorie der Quanten-Markov-Zustandsdynamik beschreibt den Prozess der Erzeugung dieser Ausgaben.
-In the mathematical model (Asano et al., 2015b, Asano et al., 2017b, Asano et al., 2017a, Asano et al., 2015a, Asano et al., 2012b, Asano et al., 2011, Asano et al., 2012a), the outputs of biological function <math>F</math>  are generated via approaching a ''steady state'' of the GKSL-dynamics:
+Im mathematischen Modell (Asano et al., 2015b, Asano et al., 2017b, Asano et al., 2017a, Asano et al., 2015a, Asano et al., 2012b, Asano et al., 2011, Asano et al ., 2012a), die Ausgänge der biologischen Funktion
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-such that it matches the spectral decomposition of <math>\widehat{F}</math>, i.e.,
+so dass es der spektralen Zerlegung von entspricht <math>\widehat{F}</math>,d.h.
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-where
+wo
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-This means that <math>\widehat{\rho}_{steady}</math> is diagonal in an orthonormal basis consisting of eigenvectors of <math>\widehat{F}</math>. This state, or more precisely, this decomposition of density operator <math>\widehat{\rho}_{steady}</math>, is the classical statistical mixture of the basic information states determining this biological function. The probabilities in state’s decomposition (26) are interpreted statistically.
+Das bedeutet, dass <math>\widehat{\rho}_{steady}</math> ist diagonal in einer orthonormalen Basis, die aus Eigenvektoren von besteht <math>\widehat{F}</math>. Dieser Zustand, oder genauer gesagt, diese Zerlegung des Dichteoperators <math>\widehat{\rho}_{steady}</math>, ist die klassische statistische Mischung der grundlegenden Informationszustände, die diese biologische Funktion bestimmen. Die Wahrscheinlichkeiten in der Zustandszerlegung (26) werden statistisch interpretiert.
-Consider a large ensemble of biosystems with the state <math>\widehat{\rho}_0</math> interacting with environment <math>\varepsilon</math>. (We recall that mathematically the interaction is encoded in the Lindbladian <math>\widehat{{L}}</math>) Resulting from this interaction, biological function <math>F</math> produces output <math>x</math> with probability <math>p_x</math>. We remark that in the operator terms the probability is expressed as <math>p_x=Tr\widehat{\rho}_{steady}\widehat{E}^F(x)</math>
+Stellen Sie sich ein großes Ensemble von Biosystemen mit dem Zustand vor <math>\widehat{\rho}_0</math> Interaktion mit der Umwelt <math>\varepsilon</math>. (Wir erinnern uns, dass die Interaktion mathematisch im Lindbladian kodiert ist <math>\widehat{{L}}</math>) Aus dieser Interaktion ergibt sich eine biologische Funktion <math>F</math> produziert Ausgabe <math>x</math>mit Wahrscheinlichkeit  <math>p_x</math>.Wir bemerken, dass in den Operatortermen die Wahrscheinlichkeit ausgedrückt wird als <math>p_x=Tr\widehat{\rho}_{steady}\widehat{E}^F(x)</math>
-This interpretation can be applied even to a single biosystem that meets the same environment many times.
+Diese Interpretation kann sogar auf ein einzelnes Biosystem angewendet werden, das viele Male auf dieselbe Umgebung trifft.
-It should be noted that limiting state  <math>\widehat{\rho}_{steady}</math> expresses the stability with respect to the influence of concrete environment <math>\varepsilon</math>. Of course, in the real world the limit-state would be never approached. The mathematical formula (25) describes the process of stabilization, damping of fluctuations. But, they would be never disappear completely with time.
+Zu beachten ist dieser Grenzzustand <math>\widehat{\rho}_{steady}</math> drückt die Stabilität gegenüber dem Einfluss der Betonumgebung aus <math>\varepsilon</math>. Natürlich würde in der realen Welt der Grenzzustand niemals erreicht werden. Die mathematische Formel (25) beschreibt den Prozess der Stabilisierung, Dämpfung von Schwankungen. Aber sie würden mit der Zeit nie ganz verschwinden.
-We note that a steady state satisfies the stationary GKSL-equation:
+Wir stellen fest, dass ein stationärer Zustand die stationäre GKSL-Gleichung erfüllt:
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-It is also important to point that generally a steady state of the quantum master equation is not unique, it depends on the class of initial conditions.
+Es ist auch wichtig darauf hinzuweisen, dass im Allgemeinen ein stationärer Zustand der Quanten-Master-Gleichung nicht eindeutig ist, er hängt von der Klasse der Anfangsbedingungen ab.