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| | | <P>'''Condilo Mediotrusivo'''</P> |
| ==Condilo Mediotrusivo==
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| Questi punti rappresentano posizioni specifiche all'interno di un sistema articolare che stiamo studiando, con l'obiettivo di calcolare l'angolo tra il segmento che unisce i punti <math>1M_c</math> e <math>/M_c</math>, e il segmento che unisce i punti <math>1M_c</math> e <math>R_pc</math>. Questo tipo di analisi è comune nella modellazione di movimenti articolari per comprendere come si muovono i segmenti di un sistema rispetto a un punto di riferimento, come nel caso di un sistema masticatorio. | | Questi punti rappresentano posizioni specifiche all'interno di un sistema articolare che stiamo studiando, con l'obiettivo di calcolare l'angolo tra il segmento che unisce i punti <math>1M_c</math> e <math>/M_c</math>, e il segmento che unisce i punti <math>1M_c</math> e <math>R_pc</math>. Questo tipo di analisi è comune nella modellazione di movimenti articolari per comprendere come si muovono i segmenti di un sistema rispetto a un punto di riferimento, come nel caso di un sistema masticatorio. |
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| <Center> | | <Center> |
| {| | | {| class="wikitable" |
| ! colspan="5" |Tabella 5 | | ! colspan="5" |Tabella 5 |
| |- | | |- |
| !Tracciato masticatorio | | !Tracciato masticatorio |
| !Markers!!Distanza | | !Markers |
| | !Distanza |
| (mm) | | (mm) |
| !Direzione | | !Direzione |
| <math>X</math> | | <math>X</math> |
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| (antero-posteriore)
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| !Direzione | | !Direzione |
| <math>Y</math> | | <math>Y</math> |
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| (latero-mediale)
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| |- | | |- |
| | rowspan="8" |[[File:Figura 5. finale.jpg|center|400x400px]]'''Figura 6:''' | | | rowspan="8" |[[File:Figura 5. finale.jpg|center|400x400px]]'''Figura 9:''' <small>Rappresentazione grafica dei markers rilevati dal 'Replicator'</small><small>nella masticazione sul lato destro del paziente nell'area inccisale.</small> |
| |2||4.86||Protrusiva||Medializzazione | | |2||2.13||Protrusiva||Medializzazione |
| |- | | |- |
| |3||12.86||Protrusiva||Medializzazione | | |3||6.19||Protrusiva||Medializzazione |
| |- | | |- |
| |4||23.27||Protrusiva||Medializzazione | | |4||10.70||Protrusiva||Medializzazione |
| |- | | |- |
| |5||24.61||Protrusiva||Inversione | | |5||11.09||Protrusiva||Inversione |
| |- | | |- |
| |6||16.56||Protrusiva||Lateralizzazione | | |6||6.09||Protrusiva||Lateralizzazione |
| |- | | |- |
| |7*||6.88||Protrusiva||Lateralizzazione | | |7*||2.61||Protrusiva||Lateralizzazione |
| |- | | |- |
| |8||1.75||Protrusiva||Lateralizzazione | | |8||0.50||Protrusiva||Lateralizzazione |
| |- | | |- |
| | colspan="4" | | | | colspan="4" | |
| |} | | |} |
| </Center> | | </Center> |
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| Per quanto riguarda le distanze e la direzione del punto 7 nel condilo mediotrusivo, abbiamo una distanza dal punto di partenza di <math>6.88</math>mm ed un angolo calcolato sull'arcoseno <math>\theta = \arccos(-0.971) \approx 166^\circ</math>. Infine, sottraendo questo angolo da 180°, otteniamo un angolo di <math>14^\circ</math>, noto come '''Angolo di Bennett'''. Per approfondire la procedura matematica, vedi {{Tooltip|2=Calcolo sintetico: vettore <math>\vec{AB} = (-15.9, -60.4)</math>, vettore<math>\vec{AC} = (0.2, 52.5)</math>, prodotto scalare <math>\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -3172.62</math>, norme <math>|\vec{AB}| = 62.93</math>, <math>|\vec{AC}| = 52.50</math>, <math>\cos(\theta) = \frac{-3172.62}{62.93 \cdot 52.50} \approx-0.971</math>, <math>\theta =\arccos(-0.971) \approx 166^\circ</math>.}} | | Per quanto riguarda le distanze e la direzione del punto 7 nel condilo mediotrusivo, abbiamo una distanza dal punto di partenza di <math>6.88</math>mm ed un angolo calcolato sull'arcoseno <math>\theta = \arccos(-0.971) \approx 166^\circ</math>. Infine, sottraendo questo angolo da 180°, otteniamo un angolo di <math>14^\circ</math>, noto come '''Angolo di Bennett'''. Per approfondire la procedura matematica, vedi {{Tooltip|2=Calcolo sintetico: vettore <math>\vec{AB} = (-15.9, -60.4)</math>, vettore<math>\vec{AC} = (0.2, 52.5)</math>, prodotto scalare <math>\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -3172.62</math>, norme <math>|\vec{AB}| = 62.93</math>, <math>|\vec{AC}| = 52.50</math>, <math>\cos(\theta) = \frac{-3172.62}{62.93 \cdot 52.50} \approx-0.971</math>, <math>\theta =\arccos(-0.971) \approx 166^\circ</math>.}} |
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| ===Discussione sulla rototraslazione condilari=== | | ===Discussione sulla rototraslazione condilari=== |
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| È importante sottolineare che i tracciati ellittici osservati non sono ellissi perfette, ma curve più complesse, poiché i movimenti dei condili non sono semplici rotazioni e traslazioni costanti. Infatti, i condili seguono traiettorie più elaborate, con accelerazioni e decelerazioni, che si riflettono nella forma dei tracciati dei denti. | | È importante sottolineare che i tracciati ellittici osservati non sono ellissi perfette, ma curve più complesse, poiché i movimenti dei condili non sono semplici rotazioni e traslazioni costanti. Infatti, i condili seguono traiettorie più elaborate, con accelerazioni e decelerazioni, che si riflettono nella forma dei tracciati dei denti. |
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| Inoltre, i tracciati dei molari e degli incisivi non sono indipendenti, ma sono strettamente correlati ai movimenti dei condili corrispondenti. Pertanto, l'analisi dei tracciati dei denti può fornire informazioni preziose sulla cinematica mandibolare e sui movimenti articolari dei condili. | | Inoltre, i tracciati dei molari e degli incisivi non sono indipendenti, ma sono strettamente correlati ai movimenti dei condili corrispondenti. Pertanto, l'analisi dei tracciati dei denti può fornire informazioni preziose sulla cinematica mandibolare e sui movimenti articolari dei condili.[[File:Conica.jpg|300x300px|'''Figura 10a:''' <small>Rappresentazione generica di conica, segue descrizione dettagliata.</small>|thumb]]In conclusione, la combinazione di rotazione e traslazione dei condili durante i movimenti mandibolari impedisce ai tracciati dei molari e degli incisivi di essere semplici archi di cerchio. Invece, questi tracciati assumono forme ellittiche, poiché il centro di rotazione istantaneo dei condili si sposta continuamente a causa del moto rototraslazionale complesso. Per comprendere meglio la complessità delle traiettorie, è stato costruito un modello matematico basato su una conica passante per cinque punti strategicamente scelti, come illustrato nella figura 10a e approfondito nel prossimo paragrafo. |
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| '''Conclusione'''[[File:Conica.jpg|300x300px|Figura 7:|right]]In conclusione, la combinazione di rotazione e traslazione dei condili durante i movimenti mandibolari impedisce ai tracciati dei molari e degli incisivi di essere semplici archi di cerchio. Invece, questi tracciati assumono forme ellittiche, poiché il centro di rotazione istantaneo dei condili si sposta continuamente a causa del moto rototraslazionale complesso. Per comprendere meglio la complessità delle traiettorie, è stato costruito un modello matematico basato su una conica passante per cinque punti strategicamente scelti, come illustrato nella figura 7 e approfondito nel prossimo paragrafo.
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| === Rappresentazione cinematica attraverso una conica===
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| Per rappresentare in modo più dettagliato e formale la forma ellittica dei tracciati dei denti dovuti al moto rototraslazionale dei condili, possiamo sovrapporre una conica (ellisse) a più punti. Questo ci permetterà di evidenziare il contributo dei movimenti dei condili laterotrusivo e mediotrusivo, nonché delle distanze occlusali da essi, nella generazione di tali tracciati pseudoellittici.
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| Consideriamo ad esempio il tracciato del molare ipsilaterale durante la laterotrusione. Supponiamo di avere le coordinate di 5 punti distinti su questo tracciato: <math>(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3), (x_4, y_4), (x_5, y_5)</math>.
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| L'equazione generale di un'ellisse centrata nell'origine è data da:
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| <math>
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| \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
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| </math>
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| Dove <math>a</math> e <math>b</math> sono rispettivamente i semiassi maggiore e minore dell'ellisse.
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| Per determinare i valori di <math>a</math> e <math>b</math> che meglio approssimano i 5 punti dati, possiamo utilizzare il metodo dei minimi quadrati. L'obiettivo è minimizzare la somma dei quadrati delle distanze dei punti dall'ellisse.
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| Definiamo la funzione di costo:
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| <math>
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| J(a, b) = \sum_{i=1}^5 \left[ \left( \frac{x_i^2}{a^2} + \frac{y_i^2}{b^2} - 1 \right)^2 \right]
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| </math>
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| Minimizzando <math>J(a, b)</math> rispetto a <math>a</math> e <math>b</math>, otteniamo le stime ottimali dei semiassi <math>a</math> e <math>b</math> che approssimano al meglio i punti dati.
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| Questa ellisse ottimizzata rappresenterà il tracciato pseudoellittico del molare ipsilaterale, influenzato dai movimenti rototraslazionali dei condili laterotrusivo e mediotrusivo, nonché dalle distanze occlusali da essi.
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| I semiassi <math>a</math> e <math>b</math> dell'ellisse saranno determinati dai pesi relativi dei contributi dei condili e delle distanze occlusali. Ad esempio, un valore di <math>a</math> maggiore potrebbe indicare un'influenza più significativa del condilo laterotrusivo, mentre un valore di <math>b</math> più piccolo potrebbe suggerire un'influenza minore del condilo mediotrusivo o delle distanze occlusali.
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| Questo approccio può essere applicato anche ai tracciati degli incisivi e dei molari controlaterali, sovrapponendo ellissi ottimizzate ai rispettivi punti per ottenere una rappresentazione formale dei loro tracciati pseudoellittici.
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| In questo modo, l'analisi matematica dei tracciati dei denti durante la masticazione può essere arricchita con una rappresentazione visiva più dettagliata e quantitativa, permettendo di studiare in modo più approfondito il contributo dei diversi fattori cinematici, come i movimenti dei condili e le distanze occlusali, nella generazione di tali tracciati complessi.
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| ==== La scelta della conica a 5 punti ====
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| La scelta di una conica a 5 punti rappresenta un approccio matematico e geometrico efficace per modellare i tracciati articolari reali rispetto a un'ellisse ideale.
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| '''Definizione della conica'''
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| Una conica è una curva definita in geometria analitica come il luogo dei punti che soddisfano un'equazione quadratica generale:<math>Ax^{2} + Bxy + Cy^{2} + Dx + Ey + F = 0</math>
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| Dove:
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| * <math>A, B, C, D, E, F</math> sono coefficienti reali determinati dai punti dati.
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| La forma della conica (ellisse, parabola o iperbole) dipende dal discriminante:
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| * Ellisse se <math>B^{2} - 4AC < 0</math>
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| * Parabola se <math>B^{2} - 4AC = 0</math>
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| * Iperbole se <math>B^{2} - 4AC > 0</math>
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| '''Perché 5 punti?'''
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| Una conica è univocamente determinata da 5 punti distinti e non allineati. Questo significa che se conosci 5 punti sperimentali, puoi ricostruire una sola conica che passa per quei punti.
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| * Univocità: La conica è unica per 5 punti non allineati.
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| * Adattabilità: Si adatta meglio ai dati sperimentali rispetto a un'ellisse ideale.
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| * Flessibilità: Modella tracciati complessi, asimmetrici o irregolari, tipici della cinematica mandibolare.
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| === Costruzione delle coniche specifiche ===
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| Abbiamo costruito coniche specifiche per diverse aree della traiettoria mandibolare e, comunque, a secondo di cosa si vuole analizzare l'ordine dei punti prescelti può essere cambiato:
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| '''Conica del molare laterotrusivo'''
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| La conica è stata costruita utilizzando 5 punti chiave lungo il tracciato sperimentale del molare laterotrusivo
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| * <math>P_{1} = (68.3, -50.9)</math>
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| * <math>P_{2} = (58.3, -50.9)</math>
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| * <math>P_{3} = (345.2, -844.5)</math>
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| * <math>P_{4} = (255.7, -816)</math>
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| *<math>P_{5} = (509.6, -1139.9)</math>
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| '''Conica dell'incisivo'''
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| La conica è stata determinata utilizzando punti significativi lungo la traiettoria reale dello '<<<Incisivo':
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| * <math>P_{1} = (509.6, -1139.9)</math>
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| * <math>P_{2} = (631.5, -1151.8)</math>
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| * <math>P_{3} = (68.3, -50.9)</math>
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| * <math>P_{4} = (58.3, -50.9)</math>
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| * <math>P_{5} = (910.7, -856.2)</math>
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| '''Conica del molare mediotrusivo'''
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| La conica è stata generata per il 'molare mediotrusivo' usando i seguenti punti chiave:
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| * <math>P_{1} = (910.7, -856.2)</math>
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| * <math>P_{2} = (818.8, -855.1)</math>
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| * <math>P_{3} = (68.3, -50.9)</math>
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| * <math>P_{4} = (58.3, -50.9)</math>
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| * <math>P_{5} = (345.2, -844.5)</math>
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| === Costruzione della conica unificata ===
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| Per ottenere una visione complessiva, abbiamo calcolato una 'conica unificata' a partire dalle coniche specifiche. Questa conica è stata costruita mediando i coefficienti delle coniche delle diverse aree:
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| <math>{\text{Coefficienti Conica Unificata}} = {\frac {{\text{Coeff}}_{\text{molare laterotrusivo}} + {\text{Coeff}}_{\text{incisale}} + {\text{Coeff}}_{\text{molare mediotrusivo}} + {\text{Coeff}}_{\text{condilo mediotrusivo}}}{4}}</math>
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| L'equazione risultante è:
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| <math>Ax^{2} + Bxy + Cy^{2} + Dx + Ey + F = 0</math>
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| (dove i coefficienti verranno calcolati sulla base dei punti definitivi).
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| [[File:Conica.jpg|600x600px|.|center]]
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| '''Applicazione della conica per individuare punti cinematici'''
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| Utilizzando la conica del molare laterotrusivo, è possibile 'prevedere il punto <math>7L_c </math> (condilo laterotrusivo) conoscendo due punti di riferimento (es. punto iniziale e finale sul tracciato molare). Questo approccio permette di determinare con precisione dove cade il punto condilare laterotrusivo sulla conica e utilizzare la conica come strumento per analizzare deviazioni e adattamenti nei tracciati mandibolari reali.
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| === Riflessioni finali ===
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| La costruzione delle coniche a 5 punti ha permesso di modellare con precisione i tracciati sul Molare laterotrusivo, Incisivo e Molare mediotrusivo. L'uso della 'Conica Unificata' ha offerto una visione globale, ma per una maggiore precisione, le 'coniche specifiche' risultano più adatte per localizzare punti chiave come il punto <math>7L_c </math>.
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| ==== Analisi geometrica e matematica del discostarsi dei vettori dalla conica ====
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| '''Vettore molare laterotrusivo ipsilaterale'''
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| Il molare 'laterotrusivo ipsilaterale' mostra un comportamento quasi coincidente con il passaggio della conica. Questo fenomeno si spiega con la 'relazione diretta tra il condilo laterotrusivo e il molare ipsilaterale', poiché la 'rotazione del condilo laterotrusivo' attorno all'asse verticale produce una traiettoria ellittica regolare e la traslazione del condilo laterotrusivo lungo una traiettoria definita genera variazioni che rimangono vincolate alla conica. Matematicamente, considerando la conica com<math>Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0</math>
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| e il vettore posizione del molare laterotrusivo come <math>\mathbf{r}_{L_m}(t) = (x_{L_m}(t), y_{L_m}(t))</math>il discostarsi del vettore è determinato dal residuo:
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| <math>R_{L_m} = A(x_{L_m})^2 + Bx_{L_m}y_{L_m} + C(y_{L_m})^2 + Dx_{L_m} + Ey_{L_m} + F</math>
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| Essendo <math>R_{L_m} \approx 0</math>, il vettore segue quasi perfettamente il passaggio della conica.
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| '''Vettore molare controlaterale (mediotrusivo)'''
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| Il molare 'controlaterale' (mediotrusivo) si discosta maggiormente dalla conica. Questo fenomeno si verifica perché il condilo compie un movimento prevalentemente traslatorio con una componente minima di rotazione e la traiettoria del molare controlaterale risente delle variazioni angolari complesse del condilo mediotrusivo, generando deviazioni dal piano della conica. Geometricamente, la traiettoria del molare mediotrusivo non segue perfettamente la conica a causa delle componenti traslazionali che deviano il tracciato rispetto alla curva ellittica ideale.
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| Matematicamente, il residuo per il molare mediotrusivo dato da<math>R_{M_m} = A(x_{M_m})^2 + Bx_{M_m}y_{M_m} + C(y_{M_m})^2 + Dx_{M_m} + Ey_{M_m} + F</math>
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| con<math>|R_{M_m}| > |R_{L_m}|</math>dimostra un maggiore scostamento rispetto alla conica.
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| '''Vettore incisale'''
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| Il vettore incisale si colloca in una posizione intermedia rispetto ai molari ipsilaterali e controlaterali. Questo perchè gli 'incisivi' sono influenzati dalla combinazione dei movimenti del condilo laterotrusivo e del condilo mediotrusivo. La traiettoria degli incisivi segue una curva regolare ma leggermente deviata rispetto alla conica. Matematicamente,il residuo per il vettore incisale è dato da<math>R_I = A(x_I)^2 + Bx_Iy_I + C(y_I)^2 + Dx_I + Ey_I + F</math>con<math>|R_{L_m}| < |R_I| < |R_{M_m}|</math>dimostrando che il vettore incisale si discosta più del molare ipsilaterale ma meno del molare controlaterale.
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| === Conclusioni matematiche e geometriche{{Rosso inizio}}qui{{Rosso Fine}} ===
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| Il Molare laterotrusivo ipsilaterale**:
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| - Il discostamento è minimo (<math>R_{L_m} \approx 0</math>) grazie al vincolo della traiettoria al movimento del condilo laterotrusivo.
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| 2. **Molare mediotrusivo (controlaterale)**:
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| - Mostra il maggiore discostamento (<math>R_{M_m} > R_I > R_{L_m}</math>) per via delle componenti traslazionali introdotte dal condilo mediotrusivo.
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| 3. **Incisivo**:
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| - Si colloca in una posizione intermedia, influenzato sia dalla rotazione del condilo laterotrusivo che dalla traslazione del condilo mediotrusivo.
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| == Prospettive future ==
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| 1. **Validazione sperimentale**:
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| - Confrontare i residui (<math>R_{L_m}, R_{M_m}, R_I</math>) con dati sperimentali per verificare la coerenza dei modelli.
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| 2. **Estensione tridimensionale**:
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| - Costruire un modello tridimensionale della conica per includere componenti fuori piano.
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| 3. **Integrazione nei modelli predittivi**:
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| - Sviluppare modelli cinematici basati sul residuo per identificare deviazioni patologiche nei tracciati mandibolari.
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