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| == Analisi Matematica della Componente Lateroretrusiva del Punto Molarare Laterotrusivo ==
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| Per rappresentare matematicamente l'interazione tra i condili e il tracciato del punto molare laterotrusivo, possiamo sviluppare un formalismo che modelli i movimenti complessi dei condili e l'effetto risultante sul punto molare laterotrusivo.
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| === 1. Coordinate dei Condili e del Punto Molarare ===
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| Consideriamo le coordinate dei condili e del punto molare laterotrusivo nel sistema di riferimento cartesiano tridimensionale (asse X per l'orientamento antero-posteriore, asse Y per la laterolateralità e asse Z per l'altezza).
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| Definiamo:
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| * <math>\mathbf{C}_L(t) = (x_L(t), y_L(t), z_L(t))</math>: coordinate del condilo laterotrusivo al tempo <math>t</math>.
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| * <math>\mathbf{C}_M(t) = (x_M(t), y_M(t), z_M(t))</math>: coordinate del condilo mediotrusivo al tempo <math>t</math>.
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| * <math>\mathbf{M}_L(t) = (x_{m_L}(t), y_{m_L}(t), z_{m_L}(t))</math>: coordinate del punto molare laterotrusivo al tempo <math>t</math>.
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| === 2. Rotazione e Traslazione dei Condili ===
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| ==== Condilo Laterotrusivo (Lavorante) ====
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| Il movimento del condilo laterotrusivo può essere descritto come una combinazione di rotazione (angolo laterotrusivo \(\theta_L\)) e traslazione retrusiva \(d_L\), dove:
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| * \(\theta_L(t)\) è l'angolo di rotazione laterale,
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| * \(d_L\) è la componente retrusiva della traslazione del condilo laterotrusivo, dovuta al movimento del condilo mediotrusivo.
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| La posizione del condilo laterotrusivo può essere descritta come:
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| \[
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| \mathbf{C}_L(t) = \mathbf{C}_L(0) + R(\theta_L) \cdot (x_{L}, y_{L}, z_{L}) + \mathbf{d}_L
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| \]
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| dove \(R(\theta_L)\) è la matrice di rotazione intorno a un asse \(Y\) inclinato in base all’angolo laterotrusivo \(\theta_L\), e \(\mathbf{d}_L = (-d_L, 0, 0)\) rappresenta la componente di retrazione sul piano X.
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| ==== Condilo Mediotrusivo (Non Lavorante) ====
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| Il condilo mediotrusivo segue un movimento orbitante che possiamo rappresentare con una rotazione e una traslazione. La rotazione del condilo mediotrusivo viene espressa con un angolo orbitante \(\theta_M\), tale che:
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| \[
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| \mathbf{C}_M(t) = \mathbf{C}_M(0) + R(\theta_M) \cdot (x_{M}, y_{M}, z_{M})
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| \]
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| con \(R(\theta_M)\) come matrice di rotazione che descrive la traiettoria orbitale mediotrusiva.
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| === 3. Tracciato del Punto Molarare Laterotrusivo ===
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| Il tracciato del punto molare laterotrusivo è condizionato sia dalla rotazione retrusiva del condilo laterotrusivo che dal tragitto orbitante del condilo mediotrusivo. La posizione risultante del punto molare laterotrusivo, \(\mathbf{M}_L(t)\), può essere modellata come la somma vettoriale della sua posizione iniziale e degli spostamenti dovuti a ciascun condilo:
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| \[
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| \mathbf{M}_L(t) = \mathbf{M}_L(0) + R(\theta_L) \cdot \mathbf{M}_L(0) + \alpha \cdot \mathbf{C}_L(t) + \beta \cdot \mathbf{C}_M(t)
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| \]
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| dove:
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| * \(R(\theta_L)\) rappresenta la rotazione laterale del condilo laterotrusivo,
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| * \(\alpha\) e \(\beta\) sono coefficienti che indicano l’influenza proporzionale dei movimenti dei condili laterotrusivo e mediotrusivo sul tracciato del punto molare laterotrusivo.
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| === 4. Formalizzazione della Componente Lateroretrusiva ===
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| Per descrivere la componente lateroretrusiva, l’effetto orbitante del condilo mediotrusivo introduce una forza vettoriale aggiuntiva nel movimento del punto molare laterotrusivo:
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| \[
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| \mathbf{M}_{L,\text{ret}}(t) = \beta \cdot \mathbf{C}_M(t) + (-d_L, 0, 0)
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| \]
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| dove \(\mathbf{M}_{L,\text{ret}}(t)\) rappresenta il tracciato effettivo lateroretrusivo dovuto all’interazione tra la retrazione del condilo lavorante e il percorso orbitale del condilo mediotrusivo.
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| === Interpretazione ===
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| Questo formalismo evidenzia che il tracciato lateroretrusivo del punto molare laterotrusivo è determinato sia dalla **componente retrusiva** (presente nel movimento del condilo lavorante) sia dall'**influenza orbitante del condilo mediotrusivo** (che altera passivamente il percorso del molare laterotrusivo).
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| == Estensione dell'Analisi ai Punti Incisale e Molarare Mediotrusivo ==
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| Estendiamo ora il formalismo matematico per includere il comportamento del punto incisale e del punto molare mediotrusivo, completando così la descrizione della dinamica tra i condili e i punti di contatto chiave della mandibola.
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| === 5. Tracciato del Punto Incisale ===
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| Il punto incisale segue una traiettoria influenzata dalla combinazione dei movimenti di entrambi i condili, ma il suo spostamento è principalmente una funzione del **movimento globale della mandibola**. Questo tracciato può essere modellato considerando la somma delle componenti laterali e retrusive trasmesse dai condili, con pesi che riflettono la loro influenza sul movimento anteriore della mandibola.
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| Definiamo il punto incisale come:
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| \[
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| \mathbf{I}(t) = (x_{I}(t), y_{I}(t), z_{I}(t))
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| \]
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| La posizione \(\mathbf{I}(t)\) è data da:
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| \[
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| \mathbf{I}(t) = \mathbf{I}(0) + \gamma \cdot R(\theta_L) \cdot \mathbf{C}_L(t) + \delta \cdot R(\theta_M) \cdot \mathbf{C}_M(t)
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| \]
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| dove:
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| * \(\gamma\) e \(\delta\) sono coefficienti che riflettono l'influenza proporzionale dei condili sul tracciato incisale,
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| * \(R(\theta_L)\) e \(R(\theta_M)\) rappresentano le rotazioni dei condili laterotrusivo e mediotrusivo, rispettivamente.
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| === 6. Tracciato del Punto Molarare Mediotrusivo ===
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| Analogamente al punto molare laterotrusivo, il punto molare mediotrusivo (\(\mathbf{M}_M\)) è influenzato dai movimenti combinati dei due condili, ma con una maggiore influenza del condilo mediotrusivo. Definiamo:
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| \[
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| \mathbf{M}_M(t) = (x_{m_M}(t), y_{m_M}(t), z_{m_M}(t))
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| \]
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| Il tracciato di \(\mathbf{M}_M(t)\) può essere modellato come:
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| \[
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| \mathbf{M}_M(t) = \mathbf{M}_M(0) + \beta' \cdot R(\theta_L) \cdot \mathbf{C}_L(t) + \alpha' \cdot R(\theta_M) \cdot \mathbf{C}_M(t)
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| \]
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| dove:
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| * \(\beta'\) e \(\alpha'\) sono coefficienti che indicano il contributo proporzionale dei movimenti dei condili sul punto molare mediotrusivo,
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| * \(R(\theta_L)\) e \(R(\theta_M)\) descrivono le matrici di rotazione dei condili laterotrusivo e mediotrusivo.
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| === 7. Formalizzazione dei Tracciati e Delle Componenti Lateroretrusive ===
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| Per completare la rappresentazione della componente lateroretrusiva sui punti incisale e molari, è essenziale considerare la risultante delle **forze vettoriali** generate dai movimenti dei condili.
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| ==== Componente Lateroretrusiva del Punto Incisale ====
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| \[
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| \mathbf{I}_{\text{ret}}(t) = \delta \cdot \mathbf{C}_M(t) + (-d_I, 0, 0)
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| \]
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| dove \(\mathbf{I}_{\text{ret}}(t)\) rappresenta la traiettoria lateroretrus
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