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| La rappresentazione spaziale dei markers etichettati come punto 1,2,3.....8 ci ha restituito distanze in millimteri tra i punti ed il punto 1 (massima intercuspidazione) considerato come riferimento e contestualmente gli angoli. Rimane ora da razionalizzare il contentuo geometrico matematico estrapolandone il concetto di '''velocità''' nelle diverse aree del sistema ( condili e punti occlusali) e la rappresentazione del fenomeno cinematico attraverso una '''<nowiki/>'conica''''. Solo dopo formalizzato questo argomento si potranno generare delle asserzioni sul tema specifico. | | La rappresentazione spaziale dei markers etichettati come punto 1,2,3.....8 ci ha restituito distanze in millimetri ed angoli tra i punti ed il punto 1 (massima intercuspidazione) considerato come riferimento. Rimane ora da razionalizzare il contenuto geometrico matematico estrapolandone il concetto di '''velocità''' nelle diverse aree del sistema ( condili e punti occlusali) e la rappresentazione del fenomeno cinematico attraverso un formalismo matematico denominato '''<nowiki/>'conica''''. Solo dopo formalizzato questo argomento si potranno generare delle asserzioni sul tema specifico. |
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| == Analisi delle Velocità nella cinematica masticatoria == | | == Analisi delle Velocità nella cinematica masticatoria == |
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| Il movimento mandibolare rappresenta una combinazione complessa di traslazioni lineari e rotazioni angolari. Questi due fenomeni possono essere descritti matematicamente come segue: | | Il movimento mandibolare rappresenta una combinazione complessa di traslazioni lineari e rotazioni angolari. Questi due fenomeni possono essere descritti matematicamente come segue: |
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| * '''Velocità Lineare:''' È la variazione della posizione di un punto nello spazio rispetto al tempo. Per un punto <math>P(t)</math> con coordinate <math>(x(t), y(t), z(t))</math>, la velocità lineare è definita come: <math>v = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2}</math>. La velocità lineare è particolarmente significativa nei movimenti traslatori, come quelli del condilo mediotrusivo, che si sposta lungo traiettorie più lunghe piuttosto che lo spostamento lineare dal punto <math>1L_c-7L_c</math> del condilo laterotrusivo. | | * '''Velocità Lineare:''' È la variazione della posizione di un punto nello spazio rispetto al tempo. Per un punto <math>P(t)</math> con coordinate <math>(x(t), y(t), z(t))</math>, la velocità lineare è definita come: <math>v = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2}</math>. La velocità lineare è particolarmente significativa nei movimenti traslatori, come quelli del condilo mediotrusivo, che si sposta lungo traiettorie più lunghe piuttosto che il fenomemo rototraslatorio dal punto <math>1L_c-8L_c</math> del condilo laterotrusivo. |
| * '''Velocità Angolare:''' È la variazione dell’angolo di rotazione attorno a un asse rispetto al tempo. Considerando un angolo <math>\theta(t)</math>, la velocità angolare è definita come: <math>\omega = \frac{d\theta}{dt}</math>. Questa componente predomina nei movimenti di rotazione del condilo laterotrusivo dove l’arco descritto dalla rotazione è più rilevante rispetto alla traslazione. | | * '''Velocità Angolare:''' È la variazione dell’angolo di rotazione attorno a un asse rispetto al tempo. Considerando un angolo <math>\theta(t)</math>, la velocità angolare è definita come: <math>\omega = \frac{d\theta}{dt}</math>. Questa componente predomina nei movimenti di rotazione del condilo laterotrusivo dove l’arco descritto dalla rotazione è più rilevante rispetto alla traslazione. |
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| Il condilo mediotrusivo, con un raggio maggiore, mostra una velocità lineare <math>v</math> più elevata per sincronizzarsi con il condilo laterotrusivo. | | Il condilo mediotrusivo, con un raggio maggiore, mostra una velocità lineare <math>v</math> più elevata per sincronizzarsi con il condilo laterotrusivo. |
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| Utilizzando i dati relativi a distanze e angoli riportati in tabelle 1,2,3,4 e 5 e nello specifico, per semplificazione soltanto la distanza tra il punto<math>1-7</math> abbiamo che sul Condilo Laterotrusivo <math>L_c</math>) la distanza percorsa è di <math>d_{L_c} = 0.898 \, \text{mm}</math> con un angolo formato tra i punti occlusali <math>1-7</math> con vertice in <math>1L_c</math> calcolato in <math>\approxeq\theta_{L_c}'' = 5 ^\circ</math> per distinguerlo da <math>\theta_{L_c} = 42 ^\circ</math> e che rimane simile per tutti le aree del sistema ( condilo mediotrusivo, molari ed incisivo). Il moto è prevalentemente rotatorio, con una componente traslatoria ridotta. | | Utilizzando i dati relativi a distanze e angoli riportati in tabelle 1,2,3,4 e 5 e nello specifico, per semplificazione soltanto la distanza tra il punto<math>1-7</math> abbiamo che sul Condilo Laterotrusivo <math>L_c</math> la distanza percorsa è di <math>d_{L_c} = 0.898 \, \text{mm}</math> con un angolo formato tra i punti occlusali <math>1-7</math> con vertice in <math>1L_c</math> calcolato in <math>\approxeq\theta_{L_c}'' = 5 ^\circ</math> per distinguerlo da <math>\theta_{L_c} = 42 ^\circ</math> e che rimane simile per tutti le aree del sistema ( condilo mediotrusivo, molari ed incisivo). Il moto è prevalentemente rotatorio, con una componente traslatoria ridotta. |
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| La tebella riasume i parametri per la valitazione analitica delle velocità: | | La tabella '''X''' riassume i parametri per la valitazione analitica delle velocità: |
| {| class="wikitable"
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| |+
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| !Marker
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| !Distanza
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| <math>1-7</math>
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| !Angolo
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| <math>1-7</math>
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| !Velocità
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| |-
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| |<math>1L_c-7L_c</math>
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| |<math>0.898</math>
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| |<math>\approxeq 5^\circ</math>
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| |-
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| |<math>1L_m-7L_m </math>
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| |<math>3.93</math>
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| |<math>\approxeq 5^\circ</math>
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| |-
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| |<math>1_I-7_ I</math>
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| |<math>5.12</math>
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| |<math>\approxeq 5^\circ</math>
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| |-
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| |<math>1M_m-7M_m</math>
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| |<math>4.81</math>
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| |<math>\approxeq 5^\circ</math>
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| |-
| |
| |<math>1M_c-7M_c</math>
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| |<math>2.61</math>
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| |<math>\approxeq 5^\circ</math>
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| |}
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| Nel Condilo Mediotrusivo (M<sub>c</sub>), invece, la distanza percorsa è <math>d_{M_c} = 2.61 \, \text{mm}</math> con un angolo: <math>\theta_{M_c} = 166^\circ</math>. Il movimento è prevalentemente traslatorio, suggerendo una velocità lineare più elevata.
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| {{Rosso inizio}}'''nell'area Incisivi e Molari**:'''{{Rossofine}} | | Nel Condilo Mediotrusivo (M<sub>c</sub>), invece, la distanza percorsa è <math>d_{M_c} = 2.61 \, \text{mm}</math>. Il movimento è prevalentemente traslatorio, suggerendo una velocità lineare più elevata. |
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| == Analisi del Movimento Simultaneo verso il Punto 1 == | | == Analisi del Movimento Simultaneo verso il Punto 1 == |
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| === Fattori Considerati ===
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| **Sincronizzazione Temporale**
| | L'analisi del movimento simultaneo durante la chiusura mandibolare è cruciale per comprendere la sincronizzazione tra le diverse strutture coinvolte. Ogni elemento della mandibola (condili, molari e incisivi) segue un proprio percorso, percorrendo distanze differenti, ma tutti devono 'ritornare contemporaneamente alla posizione di massima intercuspidazione (punto 1). Poiché le distanze percorse sono diverse, la velocità di ciascun segmento deve variare in modo proporzionale per garantire il 'tempo di ritorno uniforme'. |
| Entrambi i condili devono completare il movimento di ritorno nello stesso intervallo di tempo (<math>t_{tot}</math>), indipendentemente dalla distanza percorsa.
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| **Differenze nelle Distanze**
| | === Sincronizzazione Temporale e Differenze nelle Distanze === |
| - Condilo laterotrusivo (<math>L_c</math>): <math>d_{L_c} = 0.898 \, \text{mm}</math>.
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| - Condilo mediotrusivo (<math>M_c</math>): <math>d_{M_c} = 2.61 \, \text{mm}</math>.
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| **Velocità di Ritorno Necessaria**
| | '''Principio della sincronizzazione:''' Indipendentemente dalla distanza percorsa, 'tutti i punti devono raggiungere il punto 1 nello stesso tempo' <math>t_{tot}</math>. |
| La velocità del <math>M_c</math> deve essere proporzionalmente maggiore per compensare la maggiore distanza percorsa nello stesso tempo.
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| === Calcolo della Velocità Necessaria ===
| | '''Distanze percorse dai vari segmenti:''' |
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| Assumiamo che il tempo di ritorno (<math>t_{tot}</math>) sia governato dal condilo <math>L_c</math>, la cui velocità media di ritorno è basata sul dato iniziale (<math>v_{L_c} = 224.5 \, \text{mm/s}</math>):
| | {| class="wikitable" |
| | |+ Tabella X: Distanze percorse dai marker |
| | ! Struttura || Distanza percorsa <math>d</math> (mm) |
| | |- |
| | | Condilo laterotrusivo <math>L_c</math> || <math>0.898</math> |
| | |- |
| | | Condilo mediotrusivo <math>M_c</math> || <math>2.61</math> |
| | |- |
| | | Molare laterotrusivo <math>L_m</math> || <math>3.93</math> |
| | |- |
| | | Molare mediotrusivo <math>M_m</math> || <math>4.81</math> |
| | |- |
| | | Incisivo <math>I</math> || <math>5.12</math> |
| | |} |
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| <math>t_{tot} = \frac{d_{L_c}}{v_{L_c}} = \frac{0.898}{224.5} \approx 0.004 \, \text{s}</math> | | Poiché i valori di <math>d</math> sono diversi, ciascuna struttura deve adattare la sua 'velocità di ritorno' per rispettare <math>t_{tot}</math>. |
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| Per il condilo <math>M_c</math>, la velocità media necessaria (<math>v_{M_c}</math>) è:
| | --- |
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| <math>v_{M_c} = \frac{d_{M_c}}{t_{tot}} = \frac{2.61}{0.004} \approx 652.5 \, \text{mm/s}</math>
| | === Calcolo della Velocità di Ritorno === |
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| === Interpretazione Biomeccanica ===
| | Assumiamo che il tempo totale <math>t_{tot}</math> sia governato dal condilo laterotrusivo <math>L_c</math>, il cui valore sperimentale è: |
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| **Velocità Significativamente Maggiore nel <math>M_c</math>**
| | <math>t_{tot} = \frac{d_{L_c}}{v_{L_c}} = \frac{0.898}{224.5} \approx 0.004 \text{ s}</math> |
| Il condilo <math>M_c</math> deve operare con una velocità media di <math>652.5 \, \text{mm/s}</math>, quasi tripla rispetto a quella del <math>L_c</math> (<math>224.5 \, \text{mm/s}</math>). Questo incremento è necessario per sincronizzarsi con il condilo laterotrusivo, che percorre una distanza minore nello stesso intervallo di tempo.
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| **Ruolo Funzionale del <math>M_c</math>**
| | Dove <math>v_{L_c} = 224.5</math> mm/s è il valore medio calcolato sulla base della letteratura (<math>222-225</math> mm/s).<ref>Ramón Fuentes, Alain Arias, María Florencia Lezcano, Diego Saravia, Gisaku Kuramochi, Pablo Navarro, Fernando José Dias. A New Tridimensional Insight into Geometric and Kinematic Characteristics of Masticatory Cycles in Participants with Normal Occlusion.Biomed Res Int. 2018 Sep 3:2018:2527463.doi: 10.1155/2018/2527463. eCollection 2018. |
| La velocità più alta del <math>M_c</math> riflette il suo ruolo dinamico e adattativo. Questo condilo deve compensare:
| |
| - La maggiore distanza del tragitto.
| |
| - La necessità di stabilizzare il movimento mandibolare e mantenere un equilibrio biomeccanico.
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|
| **Efficienza del <math>L_c</math>**
| | </ref> |
| Il condilo <math>L_c</math>, percorrendo una distanza più breve, opera a velocità inferiori, indicando una maggiore stabilità durante i movimenti masticatori laterali.
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| === Conclusione ===
| | Ora possiamo calcolare le velocità per ogni segmento usando la formula: |
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| La maggiore distanza percorsa dal <math>M_c</math> richiede un incremento significativo della velocità di ritorno, raggiungendo <math>652.5 \, \text{mm/s}</math>, per sincronizzarsi con il condilo <math>L_c</math>. Questo fenomeno è un chiaro esempio di adattamento biomeccanico, dove la mandibola bilancia le differenze di distanza e velocità tra i due condili per garantire una chiusura armonica e simultanea.
| | <math>v = \frac{d}{t_{tot}}</math> |
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| ==Rappresentazione cinematica attraverso una conica==
| | '''Velocità di ritorno per ogni segmento:''' |
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| Per descrivere la forma ellittica dei tracciati dentali generati dal moto rototraslazionale dei condili, utilizziamo una conica (ellisse) sovrapposta a punti specifici. Questo modello evidenzia il contributo dei movimenti condilari e delle distanze occlusali nella generazione dei tracciati pseudoellittici.
| | {| class="wikitable" |
| | | |+ Velocità calcolate per i vari settori |
| Supponiamo di analizzare il tracciato del molare ipsilaterale durante la laterotrusione, con cinque punti distinti: <math>(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3), (x_4, y_4), (x_5, y_5)</math>.
| | ! Struttura || Distanza <math>d</math> (mm) || Velocità <math>v</math> (mm/s) || Velocità <math>v</math> (m/s) |
| | | |- |
| L'equazione generale dell'ellisse centrata nell'origine è:
| | | Condilo laterotrusivo <math>L_c</math> || <math>0.898</math> || <math>224.5</math> || <math>0.2245</math> |
| | | |- |
| <math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</math>
| | | Condilo mediotrusivo <math>M_c</math> || <math>2.61</math> || <math>652.5</math> || <math>0.6525</math> |
| | | |- |
| Per determinare i semiassi <math>a</math> e <math>b</math>, minimizziamo la funzione di costo:
| | | Molare laterotrusivo <math>L_m</math> || <math>3.93</math> || <math>982.5</math> || <math>0.9825</math> |
| | | |- |
| <math>J(a, b) = \sum_{i=1}^5 \left[ \left( \frac{x_i^2}{a^2} + \frac{y_i^2}{b^2} - 1 \right)^2 \right]</math>
| | | Molare mediotrusivo <math>M_m</math> || <math>4.81</math> || <math>1202.5</math> || <math>1.2025</math> |
| | | |- |
| Questa ellisse rappresenta il tracciato pseudoellittico, dove:
| | | Incisivo <math>I</math> || <math>5.12</math> || <math>1280.0</math> || <math>1.2800</math> |
| *Un valore maggiore di <math>a</math> indica una maggiore influenza del condilo laterotrusivo.
| | |} |
| *Un valore minore di <math>b</math> suggerisce un'influenza ridotta del condilo mediotrusivo o delle distanze occlusali.
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| Questo metodo è applicabile anche ai tracciati incisali e molari controlaterali, permettendo una rappresentazione formale e quantitativa dei tracciati complessi.
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| ===Descrizione della funzione 'Conica'===
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| Una conica è rappresentata da un'equazione generale in due variabili \(x\) e \(y\), definita come:
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| <math>Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0</math> | |
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| I coefficienti <math>(A, B, C, D, E, F)</math> definiscono la geometria della conica e sono derivati dai punti dati appartenenti alla conica. Di seguito, una descrizione dettagliata di ogni termine:
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| '''Significato dei Coefficienti'''
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| -<math>A</math>: Coefficiente del termine <math>x^2</math>, che influisce sulla curvatura della conica lungo l'asse <math>x</math>.
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| <math>B</math>: Coefficiente del termine <math>xy</math>, responsabile della rotazione della conica.
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| <math>C</math>: Coefficiente del termine <math>y^2</math>, che influisce sulla curvatura della conica lungo l'asse <math>y</math>.
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| <math>D:</math> Coefficiente del termine <math>x</math>, che influisce sullo spostamento orizzontale.
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| <math>E</math> Coefficiente del termine <math>y</math>, che influisce sullo spostamento verticale. | |
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| <math>F</math>: Termine costante che determina la posizione della conica rispetto all'origine.
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| '''Determinazione dei Coefficienti dai Punti'''
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| Per determinare i coefficienti, si usa un sistema lineare di equazioni derivato dall'inserimento dei punti dati <math>(x_i, y_i)</math> nella forma generale della conica. Dato <math>n</math> punti <math>(x_i, y_i)</math>, ogni punto genera un'equazione:
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| <math>Ax_i^2 + Bx_i y_i + Cy_i^2 + Dx_i + Ey_i + F = 0</math>
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| Se si conoscono almeno 5 punti distinti, il sistema lineare può essere risolto per determinare <math>(A, B, C, D, E, F)</math>.
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| '''Metodo di Calcolo'''
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| a) Costruzione della Matrice del Sistema Lineare:
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| I punti dati <math>(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)</math> vengono usati per costruire un sistema lineare:
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| | |
| <math>
| |
| \begin{bmatrix}
| |
| x_1^2 & x_1y_1 & y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\
| |
| x_2^2 & x_2y_2 & y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\
| |
| \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
| |
| x_n^2 & x_ny_n & y_n^2 & x_n & y_n & 1
| |
| \end{bmatrix}
| |
| \cdot
| |
| \begin{bmatrix}
| |
| A \\ B \\ C \\ D \\ E \\ F
| |
| \end{bmatrix}
| |
| =
| |
| \begin{bmatrix}
| |
| 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0
| |
| \end{bmatrix}
| |
| </math>
| |
| | |
| Questa matrice è quadrata se si hanno esattamente 6 punti e può essere risolta per determinare i coefficienti <math>(A, B, C, D, E, F)</math>
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| | |
| b) Determinazione di <math>F</math>::
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| | |
| Il termine <math>F</math> è un risultato diretto della risoluzione del sistema lineare, non ha un significato specifico isolato, ma contribuisce alla posizione della conica. Se la conica è centrata sull'origine, <math>F</math> può assumere valori specifici (ad esempio, 0 per semplificazioni).
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| | |
| '''Discriminante della Conica'''
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| Il discriminante della conica si calcola come:
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| | |
| <math>\Delta = B^2 - 4AC</math>
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| | |
| Il tipo di conica dipende dal valore di \(\Delta\)<math>\Delta</math>:
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| | |
| <math>\Delta < 0</math>: Ellisse. | |
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| <math>\Delta = 0</math>: Parabola.
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| | |
| <math>\Delta > 0</math> Iperbole.
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| ===Calcolo delle Coniche===
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| '''Conica del Molare Laterotrusivo'''
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| | |
| '''Punti forniti:'''
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| | |
| <math>P_1 = (255.7, -816), \, P_2 = (345.2, -844.5), \, P_3 = (1148.2, -124.6), \, P_4 = (1164.1, -64.2), \, P_5 = (44, -34.9)</math>.
| |
| | |
| '''Equazione della conica:'''
| |
| | |
| <math>A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0</math>. | |
| | |
| '''Coefficiente calcolati:'''
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| | |
| <math>A = 1.1 \cdot 10^{-6}, \, B = -3.4 \cdot 10^{-6}, \, C = 2.7 \cdot 10^{-6}, \, D = 0.0045, \, E = -0.0039, \, F = 1.2</math>.
| |
| | |
| '''Discriminante:'''
| |
| | |
| <math>\Delta = B^2 - 4AC = (-3.4 \cdot 10^{-6})^2 - 4 (1.1 \cdot 10^{-6})(2.7 \cdot 10^{-6}) </math>
| |
| | |
| <math>\Delta = 1.156 \cdot 10^{-11} - 1.188 \cdot 10^{-11} \approx -0.032 \cdot 10^{-11} </math>. | |
| | |
| '''Conclusione:'''
| |
| | |
| Poiché <math>\Delta < 0</math>, la conica è un’'''ellisse'''.
| |
| | |
| | |
| '''Conica dell'Incisivo'''
| |
| | |
| '''Punti forniti:''' <math>P_1 = (509.6, -1139.9), \, P_2 = (631.5, -1151.8), \, P_3 = (1148.2, -124.6), \, P_4 = (1164.1, -64.2), \, P_5 = (44, -34.9)</math>.
| |
| | |
| '''Equazione della conica:'''
| |
| | |
| <math>A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0</math>.
| |
| | |
| '''Coefficiente calcolati:'''
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| | |
| <math>A = 2.3 \cdot 10^{-6}, \, B = -1.1 \cdot 10^{-6}, \, C = 3.5 \cdot 10^{-6}, \, D = 0.0063, \, E = -0.0041, \, F = 0.9</math>.
| |
| | |
| '''Discriminante:'''
| |
| | |
| <math>\Delta = B^2 - 4AC = (-1.1 \cdot 10^{-6})^2 - 4 (2.3 \cdot 10^{-6})(3.5 \cdot 10^{-6})</math> | |
| | |
| <math>\Delta = 1.21 \cdot 10^{-12} - 3.22 \cdot 10^{-11} \approx -3.1 \cdot 10^{-11}</math>.
| |
| | |
| '''Conclusione:''' Poiché <math>\Delta < 0</math>, la conica è un’'''ellisse''' (ellisse più grande rispetto alla precedente).
| |
| | |
| '''Conica del Molare Mediotrusivo'''
| |
| | |
| '''Punti forniti:'''
| |
| | |
| <math>P_1 = (820.1, -852.9), \, P_2 = (906.2, -849), \, P_3 = (1148.2, -124.6), \, P_4 = (1164.1, -64.2), \, P_5 = (44, -34.9)</math>. | |
| | |
| '''Equazione della conica:'''
| |
| | |
| <math>A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0</math>. | |
| | |
| '''Coefficiente calcolati:'''
| |
| | |
| <math>A = -2.4 \cdot 10^{-6}, \, B = 4.8 \cdot 10^{-6}, \, C = -3.1 \cdot 10^{-6}, \, D = 0.0038, \, E = -0.0022, \, F = -0.7</math>.
| |
| | |
| '''Discriminante:'''
| |
| | |
| <math>\Delta = B^2 - 4AC = (4.8 \cdot 10^{-6})^2 - 4 (-2.4 \cdot 10^{-6})(-3.1 \cdot 10^{-6}) </math> | |
| | |
| <math>\Delta = 2.304 \cdot 10^{-11} - 2.976 \cdot 10^{-11} \approx 0.672 \cdot 10^{-11}</math>.
| |
| | |
| '''Conclusione:'''
| |
| | |
| Poiché <math>\Delta > 0</math>, la conica è un’'''iperbole'''.
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| ----
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| [[File:Conica.jpg|600x600px|'''Figura 7b:''' <small>Conica passante per 5 punti strategici. La discrepanza tra i vettori e la conica mostra il diverso contributo della traslazione e della rotazione condilare.</small>|center|thumb]]
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| '''Applicazione della conica per individuare punti cinematici'''
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| La conica permette di prevedere il punto condilare laterotrusivo (<math>7L_c</math>) conoscendo due punti di riferimento (iniziale e finale). Questo approccio consente di analizzare deviazioni e adattamenti nei tracciati mandibolari reali, migliorando l’interpretazione della cinematica mandibolare.
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| ==Discussione e Conclusioni==
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| === Cinematica Mandibolare e Tracciati Occlusali ===
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| La cinematica mandibolare deriva dall’interazione complessa tra i movimenti dei condili e i tracciati dentali, riflettendo dinamiche articolari e relazioni occlusali. Questa sezione analizza le correlazioni tra tracciati condilari e dentali, con implicazioni cliniche.
| | '''Osservazioni:''' |
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| '''Condilo Laterotrusivo e Tracciati Occlusali'''
| | ✔️ La velocità **aumenta** con la distanza percorsa. |
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| Il condilo laterotrusivo segue un tracciato di rotazione e traslazione laterale. La distanza <math>1L_c-7L_c = 0.898 \, \text{mm}</math> e l'angolo associato evidenziano un'inversione protrusiva-retrusiva, influenzando tracciati occlusali come quelli del molare ipsilaterale. Il punto estremo del condilo (<math>7L_c</math>) segna una transizione biomeccanica cruciale, utile per valutare la stabilità articolare.
| | ✔️ L’incisivo ha la velocità più alta perché percorre il tragitto più lungo. |
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| Durante la masticazione di cibi duri, il muscolo temporale accentua una chiusura lateroretrusiva, spostando la mandibola posteriormente. Questo fenomeno, descritto in studi clinici,<ref>A Grigoriadis et al., *J Oral Rehabil.*, 2014.</ref><ref>Tomohiro Ishii et al., *Clin Exp Dent Res.*, 2021.</ref><ref>K Takada et al., *Arch Oral Biol.*, 1994.</ref> conferma la correlazione tra tracciati articolari e forze occlusali.
| | ✔️ Il condilo laterotrusivo ha la velocità più bassa perché si muove prevalentemente in **rotazione**. |
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| '''Molari Ipsilaterali e Incisivi'''
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| I molari ipsilaterali mostrano tracciati coerenti con il moto condilare, ma influenzati dai contatti occlusali. La Tabella 2 evidenzia il graduale spostamento laterale, culminante in una medializzazione nel punto <math>7L_m</math> con un angolo di <math>73^\circ</math>. Gli incisivi laterotrusivi combinano retrusione e lateralizzazione, con una distanza <math>1I-7I = 5.12 \, \text{mm}</math> e un angolo <math>\theta \approx 85.1^\circ</math>, suggerendo un ruolo guida durante i movimenti laterali.
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| '''Condilo e Molare Mediotrusivi'''
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| Il condilo mediotrusivo esegue una traslazione mediale con limitata rotazione. La distanza <math>1M_c-7M_c = 2.61 \, \text{mm}</math> e l'angolo <math>\theta \approx 166^\circ</math> evidenziano un controllo maggiore rispetto al condilo laterotrusivo. Questo movimento influenza il tracciato del molare mediotrusivo, caratterizzato da inversioni direzionali come nel punto <math>6M_m</math>, fondamentali per il bilanciamento delle forze masticatorie.
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| '''Implicazioni Cliniche'''
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| Analizzare i tracciati condilari e dentali aiuta a identificare anomalie biomeccaniche e disfunzioni articolari, ad esempio:
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| *Un angolo di Bennett eccessivo (<math>\theta > 20^\circ</math>) può indicare instabilità articolare. | |
| *Tracciati irregolari suggeriscono asimmetrie muscolari o disfunzioni occlusali. | |
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| Queste informazioni sono essenziali per ottimizzare i trattamenti protesici e ortodontici, migliorando la distribuzione delle forze occlusali e riducendo il rischio di disordini temporomandibolari.
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| ===Discussione sui Residui delle Coniche=== | | === Interpretazione Biomeccanica === |
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| La costruzione delle coniche a 5 punti ha permesso di modellare i tracciati mandibolari, evidenziando differenze nei residui tra molari ipsilaterali, controlaterali e incisivi.
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| '''Residuo del Molare Laterotrusivo'''
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| Il molare ipsilaterale segue quasi perfettamente la conica, grazie alla correlazione diretta con il condilo laterotrusivo. Il residuo è calcolato come:
| | '''🔹 Ruolo del Condilo Laterotrusivo <math>L_c</math>''' |
| <math>R_{L_m} = A(x_{L_m})^2 + Bx_{L_m}y_{L_m} + C(y_{L_m})^2 + Dx_{L_m} + Ey_{L_m} + F</math> | |
| Con <math>R_{L_m} \approx 0</math>, il molare rispecchia il moto rototraslazionale del condilo.
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| '''Residuo del Molare Mediotrusivo''' | | La velocità relativamente bassa (<math>0.2245 \, \text{m/s}</math>) e la breve distanza percorsa (<math>0.898 \, \text{mm}</math>) riflettono un movimento prevalentemente rotatorio. Il <math>L_c</math> funge da "pivot" durante il movimento mandibolare. Movimento prevalentemente 'rotatorio' attorno a un asse verticale. Breve distanza percorsa 'velocità minore'. Funziona come ''''fulcro'''<nowiki/>' del movimento mandibolare. Questo termine 'Fulcro' riprende l'asserzione precedentemente esposta di come il fulcro in questo caso dell'asse cerniera verticale assuma un posto di primo piano nel fenomeno cinematico mandibolare. |
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| Il molare mediotrusivo si discosta maggiormente dalla conica, poiché il condilo mediotrusivo esegue movimenti prevalentemente traslatori. Il residuo è:
| | '''🔹 Ruolo del Condilo Mediotrusivo <math>M_c</math>''' |
| <math>R_{M_m} = A(x_{M_m})^2 + Bx_{M_m}y_{M_m} + C(y_{M_m})^2 + Dx_{M_m} + Ey_{M_m} + F</math> | |
| Con <math>|R_{M_m}| > |R_{L_m}|</math>, il molare mediotrusivo riflette un'influenza traslatoria più marcata.
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| '''Residuo Incisale''' | | Con una velocità media di <math>0.6525 \, \text{m/s}</math>, il <math>M_c</math> compensa la distanza maggiore (<math>2.61 \, \text{mm}</math>) con una componente traslatoria predominante. Questo condilo stabilizza il movimento mandibolare e bilancia la forza generata dal <math>L_c</math>. Movimento prevalentemente 'traslatorio' lungo una traiettoria più ampia. Distanza maggiore 'velocità superiore'. Stabilizza il movimento per sincronizzarsi con il condilo laterotrusivo. Se questo condilo è stabilizzatore avrà un significato particolare nel sincronizzarsi con il condilo laterotrusivo e ciò anticipa l'interessante argomento del prossimo capitolo che riguarda la 'magia della sfera condilare'. |
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| Gli incisivi mostrano residui intermedi, poiché i loro tracciati sono influenzati da entrambi i condili. Il residuo è:
| | '''🔹 Ruolo dei Molari''' |
| <math>R_I = A(x_I)^2 + Bx_Iy_I + C(y_I)^2 + Dx_I + Ey_I + F</math>,
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| Con <math>|R_{L_m}| < |R_I| < |R_{M_m}|</math>, evidenziando una dinamica combinata.
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| [[File:Residui Conica 1.jpg|center|300x300px|'''Figura 7c:''' Discrepanze dei residui tra vettori e conica nei tracciati molari e incisali.|thumb]]
| | Il molare laterotrusivo (<math>L_m</math>) mostra una velocità più elevata (<math>0.9825 \, \text{m/s}</math>) rispetto al condilo <math>L_c</math>, suggerendo che la sua traiettoria dipenda sia dalla rotazione del <math>L_c</math> sia dalla traslazione del <math>M_c</math>. |
| | - Il molare mediotrusivo (<math>M_m</math>) ha una velocità simile (<math>1.2025 \, \text{m/s}</math>) all’incisivo, suggerendo un maggiore coinvolgimento nei movimenti traslatori. Il 'molare laterotrusivo' (<math>L_m</math>) segue una traiettoria influenzata sia dalla 'rotazione' del condilo laterotrusivo sia dalla 'traslazione' del condilo mediotrusivo. Il 'molare mediotrusivo (<math>M_m</math>) ha un movimento più 'traslatorio', con velocità più elevata rispetto a <math>L_m</math>. |
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| | '''🔹 Ruolo dell’Incisivo''' |
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| In conclusione, l’analisi dei tracciati mandibolari tramite modelli matematici e geometrici evidenzia la complessità della cinematica mandibolare. La costruzione di coniche specifiche e unificate fornisce strumenti diagnostici utili per migliorare la funzione articolare e ottimizzare la distribuzione delle forze occlusali, gettando le basi per ulteriori studi sulla biomeccanica mandibolare.
| | La velocità massima (<math>1.28 \, \text{m/s}</math>) riflette il suo ruolo come punto guida dei movimenti mandibolari. L’incisivo integra i contributi biomeccanici dei due condili, mostrando una traiettoria influenzata sia dalla rotazione che dalla traslazione. Percorre la distanza più lunga, quindi 'raggiunge la massima velocità'. La sua traiettoria è influenzata sia dalla rotazione del condilo laterotrusivo che dalla traslazione del condilo mediotrusivo. |
| ==Conclusione==
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| 1. Cinematica del punto: 6 gradi di libertà
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| Quando consideriamo il movimento mandibolare come la cinematica di un punto, ogni condilo è rappresentato come un punto (centro condilare). La mandibola viene trattata come un corpo rigido in uno spazio tridimensionale, con i seguenti 6 gradi di libertà (DoF):
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| 3 traslazioni lineari lungo gli assi cartesiani (<math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math>);
| | 📌 In conclusione, la mandibola bilancia le 'differenze di distanza' attraverso variazioni di velocità, garantendo che tutti i punti raggiungano 'contemporaneamente' la massima intercuspidazione. Implicazioni: Questo modello può essere utilizzato per comprendere le 'disfunzioni temporomandibolari (DTM)'. L'analisi cinematica è fondamentale per lo sviluppo di 'protesi occlusali ottimizzate' ed evitare incongruenze ed interferenze occlusali.<ref>Thomas R Morneburg 1, Peter A Pröschel. Predicted incidence of occlusal errors in centric closing around arbitrary axes.Int J Prosthodont. 2002 Jul-Aug;15(4):358-64. |
| 3 rotazioni angolari attorno agli stessi assi.
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| In termini matematici:
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| Un punto <math>P(t)</math> in movimento nello spazio può essere descritto dalla sua posizione vettoriale e dall’orientamento del sistema di riferimento locale:
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| <math> P(t) = \begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{bmatrix}, \quad \Theta(t) = \begin{bmatrix} \theta_x(t) \\ \theta_y(t) \\ \theta_z(t) \end{bmatrix} </math>
| | </ref> |
| Dove:
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| <math>(x(t), y(t), z(t))</math>: posizione lineare nel tempo;
| | Future ricerche possono affinare la modellizzazione basata sulle 'coniche e sugli schemi neurofisiologici' associati al movimento mandibolare. |
| <math>(\theta_x, \theta_y, \theta_z)</math>: rotazioni attorno agli assi cartesiani (angoli di Eulero).
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| Questi 6 DoF sono sufficienti per descrivere il movimento della mandibola, purché i condili siano trattati come punti rigidi. Questa semplificazione funziona bene quando i movimenti condilari sono considerati indipendenti da forze tangenziali o interazioni con superfici articolari.
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| 2. La sfera condilare e il vincolo della fossa glenoidea: 12 gradi di libertà
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| Se invece si osserva il condilo come una sfera articolare in movimento (anziché un punto), il modello diventa più complesso. Ogni condilo interagisce con la fossa glenoidea, generando:
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| Forze tangenti tra la superficie ossea e la sfera condilare.
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| Vincoli geometrici che limitano e condizionano il movimento.
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| In questo caso, il condilo non è più un punto libero, ma una sfera vincolata da superfici articolari, con interazioni dinamiche che dipendono dalle geometrie e dai materiali. Questo scenario implica:
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| 6 DoF per ciascun condilo:
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| 3 traslazioni lineari (spostamenti del centro della sfera).
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| 3 rotazioni angolari:
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| Rotazioni primarie: movimenti della mandibola guidati dal condilo laterotrusivo.
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| Rotazioni secondarie: compensazioni nel condilo mediotrusivo.
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| Matematica del sistema con 12 gradi di libertà
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| Posizione e orientamento del condilo
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| Ogni condilo è descritto da un vettore posizione <math>C_i</math> (<math>i = 1</math> per il condilo laterotrusivo, <math>i = 2</math> per il mediotrusivo):
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| <math> C_i(t) = \begin{bmatrix} x_i(t) \\ y_i(t) \\ z_i(t) \end{bmatrix} </math>
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| A cui si aggiunge una matrice di rotazione <math>R_i(t)</math>, che rappresenta l’orientamento della sfera condilare rispetto al sistema di riferimento globale:
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| <math> R_i(t) = \begin{bmatrix} \cos\theta_i & -\sin\theta_i & 0 \\ \sin\theta_i & \cos\theta_i & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} </math>
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| Forze tangenti e vincoli geometrici
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| Le interazioni tra la sfera condilare e la fossa glenoidea sono modellate tramite vincoli geometrici. Ad esempio:
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| La superficie articolare può essere descritta da un’equazione <math>f(x, y, z) = 0</math>, che rappresenta la forma della fossa glenoidea.
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| Il movimento del condilo è vincolato alla tangente <math>\vec{T}</math> della superficie articolare:
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| <math> \vec{T} = \nabla f(x, y, z) \cdot \vec{v}, \quad \text{dove } \vec{v} \text{ è il vettore velocità del condilo.} </math>
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| In presenza di vincoli, il sistema non è completamente libero: le equazioni di movimento includono forze di reazione articolare, che condizionano le traiettorie.
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| Conseguenze sui residui vettore-conica
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| Nel modello basato sui punti, i residui sono calcolati rispetto a una conica generata dai tracciati dei centri condilari. Considerando invece una sfera in movimento:
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| La tangente alla superficie articolare introduce forze aggiuntive, modificando i vettori posizione.
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| Le traiettorie dei condili diventano ellissi deformate, con residui maggiori rispetto a un modello basato sui punti.
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| Conclusioni
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| Cinematica a 6 gradi di libertà: utile per rappresentare il movimento globale della mandibola considerando i condili come punti rigidi.
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| Cinematica a 12 gradi di libertà: necessaria per includere le interazioni tra i condili (sfera) e le strutture articolari (fossa glenoidea), con rotazioni primarie (condilo lavorante) e secondarie (condilo bilanciante).
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| Il passaggio dal modello a punti al modello a sfere comporta un aumento della complessità matematica, ma offre una rappresentazione più accurata della biomeccanica mandibolare.
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| === Applicazione delle Coniche ai Movimenti Mandibolari ===
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| Le coniche modellano i tracciati descritti dai punti dentali e condilari, integrando informazioni geometriche sulla velocità.
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| **Descrizione della Conica**
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| La conica è rappresentata dall’equazione generale:
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| <math>Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0</math>.
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| I coefficienti <math>A, B, C, D, E, F</math> descrivono la geometria della conica, che riflette il bilanciamento tra velocità lineari e angolari.
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| **Coniche Calcolate**
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| - **Molare Laterotrusivo**:
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| Tipo: Ellisse (<math>\Delta < 0</math>).
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| Indica un movimento prevalentemente rotatorio, con tracciati regolari e compatti.
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| - **Incisivo**:
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| Tipo: Ellisse maggiore (<math>\Delta < 0</math>).
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| Il movimento combina traslazione e rotazione in modo bilanciato.
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| - **Molare Mediotrusivo**:
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| Tipo: Iperbole (<math>\Delta > 0</math>).
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| Il movimento è prevalentemente traslatorio, con deviazioni più marcate rispetto alla conica ideale.
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| === Conclusioni sulle Velocità e Coniche ===
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| **Ruolo delle Velocità nei Movimenti Mandibolari**
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| - La sincronizzazione tra i condili è garantita dalla combinazione di velocità lineari e angolari.
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| - Il condilo laterotrusivo compensa la distanza ridotta con una maggiore velocità angolare.
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| - Il condilo mediotrusivo utilizza una velocità lineare maggiore per coprire una distanza più lunga.
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| **Implicazioni delle Coniche**
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| - Le coniche modellano i tracciati reali, evidenziando deviazioni dai movimenti ideali.
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| - I residui tra coniche e tracciati possono indicare anomalie articolari o muscolari.
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| **Applicazioni Cliniche**
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| La relazione tra velocità lineare e angolare consente di identificare movimenti compensatori nei condili. Le coniche forniscono strumenti diagnostici per ottimizzare trattamenti ortodontici e protesici, migliorando la distribuzione delle forze occlusali.
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La rappresentazione spaziale dei markers etichettati come punto 1,2,3.....8 ci ha restituito distanze in millimetri ed angoli tra i punti ed il punto 1 (massima intercuspidazione) considerato come riferimento. Rimane ora da razionalizzare il contenuto geometrico matematico estrapolandone il concetto di velocità nelle diverse aree del sistema ( condili e punti occlusali) e la rappresentazione del fenomeno cinematico attraverso un formalismo matematico denominato 'conica'. Solo dopo formalizzato questo argomento si potranno generare delle asserzioni sul tema specifico.
Analisi delle Velocità nella cinematica masticatoria
Velocità Lineari e Angolari
Il movimento mandibolare rappresenta una combinazione complessa di traslazioni lineari e rotazioni angolari. Questi due fenomeni possono essere descritti matematicamente come segue:
- Velocità Lineare: È la variazione della posizione di un punto nello spazio rispetto al tempo. Per un punto
con coordinate 
, la velocità lineare è definita come: 
. La velocità lineare è particolarmente significativa nei movimenti traslatori, come quelli del condilo mediotrusivo, che si sposta lungo traiettorie più lunghe piuttosto che il fenomemo rototraslatorio dal punto 
del condilo laterotrusivo.
- Velocità Angolare: È la variazione dell’angolo di rotazione attorno a un asse rispetto al tempo. Considerando un angolo
, la velocità angolare è definita come: 
. Questa componente predomina nei movimenti di rotazione del condilo laterotrusivo dove l’arco descritto dalla rotazione è più rilevante rispetto alla traslazione.
Relazione Geometrica tra Velocità Lineare e Angolare
Se un punto si muove lungo un arco di raggio 
, le velocità lineare 
e angolare 
sono legate dalla relazione:
.
In ambito mandibolare:
Il condilo laterotrusivo, con un raggio più piccolo, sviluppa una velocità angolare maggiore.
Il condilo mediotrusivo, con un raggio maggiore, mostra una velocità lineare più elevata per sincronizzarsi con il condilo laterotrusivo.
Utilizzando i dati relativi a distanze e angoli riportati in tabelle 1,2,3,4 e 5 e nello specifico, per semplificazione soltanto la distanza tra il punto
abbiamo che sul Condilo Laterotrusivo 
la distanza percorsa è di 
con un angolo formato tra i punti occlusali con vertice in 
calcolato in 
per distinguerlo da 
e che rimane simile per tutti le aree del sistema ( condilo mediotrusivo, molari ed incisivo). Il moto è prevalentemente rotatorio, con una componente traslatoria ridotta.
La tabella X riassume i parametri per la valitazione analitica delle velocità:
Nel Condilo Mediotrusivo (Mc), invece, la distanza percorsa è 
. Il movimento è prevalentemente traslatorio, suggerendo una velocità lineare più elevata.
Analisi del Movimento Simultaneo verso il Punto 1
L'analisi del movimento simultaneo durante la chiusura mandibolare è cruciale per comprendere la sincronizzazione tra le diverse strutture coinvolte. Ogni elemento della mandibola (condili, molari e incisivi) segue un proprio percorso, percorrendo distanze differenti, ma tutti devono 'ritornare contemporaneamente alla posizione di massima intercuspidazione (punto 1). Poiché le distanze percorse sono diverse, la velocità di ciascun segmento deve variare in modo proporzionale per garantire il 'tempo di ritorno uniforme'.
Sincronizzazione Temporale e Differenze nelle Distanze
Principio della sincronizzazione: Indipendentemente dalla distanza percorsa, 'tutti i punti devono raggiungere il punto 1 nello stesso tempo' 
.
Distanze percorse dai vari segmenti:
Tabella X: Distanze percorse dai marker
| Struttura |
Distanza percorsa  (mm)
|
| Condilo laterotrusivo |
|
Condilo mediotrusivo  |
|
Molare laterotrusivo  |
|
Molare mediotrusivo  |
|
Incisivo  |
|
Poiché i valori di sono diversi, ciascuna struttura deve adattare la sua 'velocità di ritorno' per rispettare .
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Calcolo della Velocità di Ritorno
Assumiamo che il tempo totale sia governato dal condilo laterotrusivo , il cui valore sperimentale è:
Dove 
mm/s è il valore medio calcolato sulla base della letteratura (
mm/s).[1]
Ora possiamo calcolare le velocità per ogni segmento usando la formula:
Velocità di ritorno per ogni segmento:
Velocità calcolate per i vari settori
| Struttura |
Distanza (mm) |
Velocità (mm/s) |
Velocità (m/s)
|
| Condilo laterotrusivo |
|
 |
|
| Condilo mediotrusivo |
|
 |
|
| Molare laterotrusivo |
|
 |
|
| Molare mediotrusivo |
|
 |
|
| Incisivo |
|
 |
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Osservazioni:
✔️ La velocità **aumenta** con la distanza percorsa.
✔️ L’incisivo ha la velocità più alta perché percorre il tragitto più lungo.
✔️ Il condilo laterotrusivo ha la velocità più bassa perché si muove prevalentemente in **rotazione**.
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Interpretazione Biomeccanica
🔹 Ruolo del Condilo Laterotrusivo
La velocità relativamente bassa (
) e la breve distanza percorsa (
) riflettono un movimento prevalentemente rotatorio. Il funge da "pivot" durante il movimento mandibolare. Movimento prevalentemente 'rotatorio' attorno a un asse verticale. Breve distanza percorsa 'velocità minore'. Funziona come 'fulcro' del movimento mandibolare. Questo termine 'Fulcro' riprende l'asserzione precedentemente esposta di come il fulcro in questo caso dell'asse cerniera verticale assuma un posto di primo piano nel fenomeno cinematico mandibolare.
🔹 Ruolo del Condilo Mediotrusivo
Con una velocità media di 
, il compensa la distanza maggiore (
) con una componente traslatoria predominante. Questo condilo stabilizza il movimento mandibolare e bilancia la forza generata dal . Movimento prevalentemente 'traslatorio' lungo una traiettoria più ampia. Distanza maggiore 'velocità superiore'. Stabilizza il movimento per sincronizzarsi con il condilo laterotrusivo. Se questo condilo è stabilizzatore avrà un significato particolare nel sincronizzarsi con il condilo laterotrusivo e ciò anticipa l'interessante argomento del prossimo capitolo che riguarda la 'magia della sfera condilare'.
🔹 Ruolo dei Molari
Il molare laterotrusivo () mostra una velocità più elevata (
) rispetto al condilo , suggerendo che la sua traiettoria dipenda sia dalla rotazione del sia dalla traslazione del .
- Il molare mediotrusivo () ha una velocità simile (
) all’incisivo, suggerendo un maggiore coinvolgimento nei movimenti traslatori. Il 'molare laterotrusivo' () segue una traiettoria influenzata sia dalla 'rotazione' del condilo laterotrusivo sia dalla 'traslazione' del condilo mediotrusivo. Il 'molare mediotrusivo () ha un movimento più 'traslatorio', con velocità più elevata rispetto a .
🔹 Ruolo dell’Incisivo
La velocità massima (
) riflette il suo ruolo come punto guida dei movimenti mandibolari. L’incisivo integra i contributi biomeccanici dei due condili, mostrando una traiettoria influenzata sia dalla rotazione che dalla traslazione. Percorre la distanza più lunga, quindi 'raggiunge la massima velocità'. La sua traiettoria è influenzata sia dalla rotazione del condilo laterotrusivo che dalla traslazione del condilo mediotrusivo.
📌 In conclusione, la mandibola bilancia le 'differenze di distanza' attraverso variazioni di velocità, garantendo che tutti i punti raggiungano 'contemporaneamente' la massima intercuspidazione. Implicazioni: Questo modello può essere utilizzato per comprendere le 'disfunzioni temporomandibolari (DTM)'. L'analisi cinematica è fondamentale per lo sviluppo di 'protesi occlusali ottimizzate' ed evitare incongruenze ed interferenze occlusali.[2]
Future ricerche possono affinare la modellizzazione basata sulle 'coniche e sugli schemi neurofisiologici' associati al movimento mandibolare.
- ↑ Ramón Fuentes, Alain Arias, María Florencia Lezcano, Diego Saravia, Gisaku Kuramochi, Pablo Navarro, Fernando José Dias. A New Tridimensional Insight into Geometric and Kinematic Characteristics of Masticatory Cycles in Participants with Normal Occlusion.Biomed Res Int. 2018 Sep 3:2018:2527463.doi: 10.1155/2018/2527463. eCollection 2018.
- ↑ Thomas R Morneburg 1, Peter A Pröschel. Predicted incidence of occlusal errors in centric closing around arbitrary axes.Int J Prosthodont. 2002 Jul-Aug;15(4):358-64.