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Molare Laterotrusivo

Il testo descrive un'analisi dettagliata dei movimenti articolari del molare ipsilaterale al condilo laterotrusivo (Figura 6 e Tabella 2). L'analisi si basa sul calcolo delle distanze tra punti e degli angoli formati tra i vettori utilizzando la trigonometria vettoriale.

Tabella 2
Tracciato masticatorio	Markers	Distanza (mm)	Direzione $X$	Direzione dinamica $Y$
Figura 6: Rappresentazione grafica dei markers rilevati dal 'Replicator' nella masticazione sul lato destro del paziente	2	0.39	Indietro	Lateralizzazione
	3	2.18	Indietro	Lateralizzazione
	4	3.57	Indietro	Lateralizzazione
	5	5.68	Indietro	Lateralizzazione
	6	6.76	Indietro	Inversione
	7*	3.93	Indietro	Medializzazione
	8	1.15	Indietro	Medializzazione

Osservando la figura e la tabella, possiamo estrapolare le distanze e le direzioni dei punti marcati. Nello specifico, la distanza del punto $7L_{m}$ rispetto al punto iniziale $1L_{m}$ è stata calcolata come circa $3.93\,_{\text{mm}}$ , con un angolo formato tra i vettori pari a $\cong 73^{\circ }$ . Definizione dei vettori: ${\vec {AB}}=7L_{m}-1L_{m}=(255.7,-816.0)-(345.2,-844.5)=(-89.5,28.5)$ , ${\vec {AC}}=R_{p}-1L_{m}=(346.6,-727.1)-(345.2,-844.5)=(1.4,117.4)$ . Magnitudine di ${\vec {AB}}$ : $|{\vec {AB}}|={\sqrt {(-89.5)^{2}+(28.5)^{2}}}\approx 93.93$ , magnitudine di ${\vec {AC}}$ : $|{\vec {AC}}|={\sqrt {(1.4)^{2}+(117.4)^{2}}}\approx 117.41$ . Prodotto scalare: ${\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}=(-89.5)(1.4)+(28.5)(117.4)=2928.4$ , $\cos(\theta )={\frac {{\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}}{|{\vec {AB}}|\cdot |{\vec {AC}}|}}={\frac {2928.4}{93.93\cdot 117.41}}\approx 0.292$ , angolo: $\theta =\arccos(0.292)\approx 73.02^{\circ }$

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-===Molare laterotrusivo===
+'''Molare Laterotrusivo'''
-Il testo descrive un'analisi dettagliata dei movimenti articolari del molare ipsilaterale al condilo laterotrusivo (Figura 3 e tabella 2)e coinvolge vari punti nello spazio 2D per calcolare distanze e angoli utilizzando la trigonometria vettoriale.
-[[File:Angolo molare.jpg|left|thumb|'''Figura 3:''' Rappresentazione delle distanze tra punti nel molare ipsilaterale alla laterotrusione]]
+Il testo descrive un'analisi dettagliata dei movimenti articolari del molare ipsilaterale al condilo laterotrusivo (Figura 6 e Tabella 2). L'analisi si basa sul calcolo delle distanze tra punti e degli angoli formati tra i vettori utilizzando la trigonometria vettoriale.
+<Center>
 {| class="wikitable"
 ! colspan="5" |Tabella 2
 |-
-!Point
+!Tracciato masticatorio
-!Distance
+!Markers
-(pixels)
+!Distanza
-!Distance
 (mm)
-!Direzione in X
+!Direzione
-(antero-posteriore)
+<math>X</math>
-!Direzione in Y
+!Direzione dinamica
-(latero-mediale)
+<math>Y</math>
 |-
+| rowspan="8" |[[File:Figura 3 finale.jpg|center|399x399px|'''Figura 3:''' Rappresentazione delle distanze tra punti nel molare ipsilaterale alla laterotrusione]]'''Figura 6:''' <small>Rappresentazione grafica dei markers rilevati dal 'Replicator' nella masticazione sul lato destro del paziente</small>
 |2
-|8.74
+|0.39
-|0.874 mm
 |Indietro
-|Laterale
+|Lateralizzazione
 |-
 |3
-|54.42
+|2.18
-|5.442 mm
 |Indietro
-|Laterale
+|Lateralizzazione
 |-
-| 4
+|4
-|84.64
+|3.57
-|8.464 mm
+|Indietro
-| Indietro
+|Lateralizzazione
-|Laterale
 |-
 |5
-|134.48
+|5.68
-|13.448 mm
 |Indietro
-|Laterale
+|Lateralizzazione
 |-
 |6
-| 160.59
+|6.76
-|16.059 mm
 |Indietro
-|Laterale
+|Inversione
 |-
-| 7*
+|7*
-|91.99
+|3.93
-|9.199 mm
 |Indietro
-|Laterale
+|Medializzazione
 |-
 |8
-|27.65
+|1.15
-|2.77 mm
 |Indietro
-|Laterale
+|Medializzazione
 |-
-| colspan="5" |Rappresentazione delle distanze e dell'angolo formato tra i puntimarcati nel ciclo masticatorio riferiti al punto 1 di massima intercuspidazione. IL punto 7* è il punto considerato per lo specifico calcolo del molare laterotrusivo
+| colspan="4" |
 |}
-Il formalismo matematico{{Tooltip|2=Nel contesto della nostra analisi, abbiamo tre punti nello spazio 2D che ci interessano: Coordinate <math> P1_{m}</math> del punto 1 del molare ipsilaterale al condilo latorotrusivo:<math>(345.2, -844.5) </math> *Coordinate <math>P7_{m}</math> del punto 7 del molare ipsilaterale al condilo latorotrusivo: <math>(255.7, -816)  </math> *Coordinate <math>H3 _{m}</math> del punto di riferimento del condilo mediotrusivo: <math>(347.7, -682.7)</math> Questi punti rappresentano tre posizioni specifiche all'interno di un sistema articolare che stiamo studiando, con l'obiettivo di calcolare l'angolo tra il segmento che unisce i punti <math>P1_{m}</math> e <math>P7_{m}</math>, e il segmento che unisce i punti <math>P1_{m}</math> e <math>H3 _{m}</math>. Questo tipo di analisi è comune nella modellazione di movimenti articolari per comprendere come si muovono i segmenti di un sistema rispetto a un punto di riferimento, come nel caso di un sistema masticatorio.'''Iter matematico per il calcolo dell'angolo''' L'angolo tra due segmenti può essere calcolato utilizzando la **trigonometria vettoriale** e, in particolare, il **prodotto scalare**. Questo metodo è utile quando vogliamo determinare la relazione angolare tra due movimenti distinti nello spazio. {{Tooltip|'''Definizione dei vettori'''| *Il vettore tra il punto <math>P1_{m}</math> e il punto <math>P7_{m}</math>: <math>\vec{AB} = P7_{m} -P1_{m} = (255.7, -816) - (345.2, -844.5) = (-89.5, 28.5)</math> *Il vettore tra il punto <math>P1_{m}</math> e il punto <math>H3 _{m}</math>: <math>\vec{AC} = \vec{H_3} - \vec{P_1} = (347.7, -682.7) - (345.2, -844.5) = (2.5, 161.8)</math>|2}}
+</Center>
-Innanzitutto, dobbiamo calcolare i vettori che rappresentano i segmenti tra i punti:  {{Tooltip|'''Prodotto scalare'''|Sostituendo i valori calcolati: <math>\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-89.5) \cdot (2.5) + (28.5) \cdot (161.8) = -223.75 + 4601.3 = 4377.55</math> |2}} Il **prodotto scalare** tra due vettori <math>\vec{AB}</math> e <math>\vec{AC }</math> è dato dalla formula: <math>\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB_x \cdot AC_x + AB_y \cdot AC_y</math>{{Tooltip|'''Calcolo delle norme'''| <math>|\vec{AB}| = \sqrt{AB_x^2 + AB_y^2} = \sqrt{(-89.5)^2 + (28.5)^2} = \sqrt{8010.25 + 812.25} = \sqrt{8822.5} \approx 93.96</math> <math>|\vec{AC}| = \sqrt{AC_x^2 + AC_y^2} = \sqrt{(2.5)^2 + (161.8)^2} = \sqrt{6.25 + 26178.44} = \sqrt{26184.69} \approx 161.78</math>.|2}} Le norme (lunghezze) dei due vettori sono calcolate con la formula della lunghezza del vettore {{Tooltip|'''Calcolo dell'angolo'''|<math>\cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}</math> Sostituendo i valori: <math>\cos(\theta) = \frac{4377.55}{93.96 \cdot 161.78} = \frac{4377.55}{15193.68} \approx 0.288</math>|2}} Ora possiamo usare la formula per il coseno dell'angolo tra i due vettori:  Infine, l'angolo <math>\theta</math> è calcolato tramite la funzione arcoseno: <math>\theta = \arccos(0.288) \approx 73.32^\circ</math> '''Motivo dell'analisi''' L'obiettivo dell'analisi è determinare l'angolo tra due movimenti all'interno di un sistema articolare, in particolare nell'area di studio della cinematica masticatoria.}} può essere riassunto come segue:
-'''Distanze calcolate tra i punti'''
-Tabella delle distanze: Viene fornita una tabella che mostra la distanza tra vari punti, espressa in pixel e convertita in millimetri, con indicazione della direzione sia in senso antero-posteriore (<math>X</math>) che latero-mediale (<math>Y</math>). Tutti i movimenti del molare sono stati riportati come "Indietro" e "Laterale".
-'''Analisi matematica dei punti'''
-*'''Punti coinvolti:'''
-**Il punto 1 (<math>P_1</math>) del molare ipsilaterale al condilo laterotrusivo si trova a coordinate (<math>345.2,-844.5</math>).
-**Il punto 7 (<math>P_7</math>) dello stesso molare si trova a (<math>255.7,-816</math>).
-**Il punto di riferimento <math>R_p</math> del condilo mediotrusivo si trova a (<math>347.7,-682.7</math> ).
-'''Obiettivo:''' L'analisi si propone di calcolare l'angolo tra il segmento che collega i punti <math>P_1</math> e <math>P_7</math> e il segmento che collega i punti<math>P_1</math> e <math>R_p</math>.
-'''Calcolo dei vettori:'''Sono stati definiti due vettori, uno tra i punti<math>P_1</math> e <math>P_7</math> e uno tra i punti <math>P_1</math> e<math>R_p</math>.
-'''Prodotto scalare:''' Utilizzando il prodotto scalare tra i vettori, si è ottenuto un valore di <math>4377.55.</math>
+Osservando la figura e la tabella, possiamo estrapolare le distanze e le direzioni dei punti marcati. Nello specifico, la distanza del punto <math>7L_m</math> rispetto al punto iniziale <math>1L_m</math> è stata calcolata come circa <math>3.93 \,_ \text{mm}</math>, con un angolo formato tra i vettori pari a <math>\cong 73 ^\circ</math>.{{Tooltip|2=Definizione dei vettori:<math>\vec{AB} = 7L_m - 1L_m = (255.7, -816.0) - (345.2, -844.5) = (-89.5, 28.5)</math>, <math>\vec{AC} = R_p - 1L_m = (346.6, -727.1) - (345.2, -844.5) = (1.4, 117.4)</math>. Magnitudine di <math>\vec{AB}</math>: <math>|\vec{AB}| = \sqrt{(-89.5)^2 + (28.5)^2} \approx 93.93</math>, magnitudine di <math>\vec{AC}</math>: <math>|\vec{AC}| = \sqrt{(1.4)^2 + (117.4)^2} \approx 117.41</math>. Prodotto scalare: <math>\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-89.5)(1.4) + (28.5)(117.4) = 2928.4</math>, <math>\cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{2928.4}{93.93 \cdot 117.41} \approx 0.292</math>, angolo: <math>\theta = \arccos(0.292) \approx 73.02^\circ</math>}}
-'''Calcolo delle norme:''' Le lunghezze dei vettori risultano essere circa <math>93.96 </math>  per <math>\vec{AB}</math> e <math>161.78 </math> per <math>\vec{AC}</math>.
-'''Angolo:''' Il coseno dell'angolo è stato calcolato come <math>0.288 </math> , con l'angolo risultante approssimativamente pari a <math>
+----
-.32^\circ</math>.