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La rappresentazione spaziale dei markers etichettati come punto 1,2,3.....8 ci ha restituito distanze in millimteri tra i punti ed il punto 1 (massima intercuspidazione) considerato come riferimento e contestualmente gli angoli. Rimane ora da razionalizzare il contentuo geometrico matematico estrapolandone il concetto di '''velocità''' nelle diverse aree del sistema ( condili e punti occlusali) e la rappresentazione del fenomeno cinematico attraverso una '''<nowiki/>'conica''''. Solo dopo formalizzato questo argomento si potranno generare delle asserzioni sul tema specifico.
La rappresentazione spaziale dei markers etichettati come punto 1,2,3.....8 ci ha restituito distanze in millimetri ed angoli tra i punti ed il punto 1 (massima intercuspidazione) considerato come riferimento. Rimane ora da razionalizzare il contenuto geometrico matematico estrapolandone il concetto di '''velocità''' nelle diverse aree del sistema ( condili e punti occlusali) e la rappresentazione del fenomeno cinematico attraverso un formalismo matematico denominato  '''<nowiki/>'conica''''. Solo dopo formalizzato questo argomento si potranno generare delle asserzioni sul tema specifico.


== Analisi delle Velocità nella cinematica masticatoria ==
== Analisi delle Velocità nella cinematica masticatoria ==
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Il movimento mandibolare rappresenta una combinazione complessa di traslazioni lineari e rotazioni angolari. Questi due fenomeni possono essere descritti matematicamente come segue:
Il movimento mandibolare rappresenta una combinazione complessa di traslazioni lineari e rotazioni angolari. Questi due fenomeni possono essere descritti matematicamente come segue:


* '''Velocità Lineare:''' È la variazione della posizione di un punto nello spazio rispetto al tempo. Per un punto <math>P(t)</math> con coordinate <math>(x(t), y(t), z(t))</math>, la velocità lineare è definita come:  <math>v = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2}</math>.  La velocità lineare è particolarmente significativa nei movimenti traslatori, come quelli del condilo mediotrusivo, che si sposta lungo traiettorie più lunghe piuttosto che lo spostamento lineare dal punto <math>1L_c-7L_c</math> del condilo laterotrusivo.
* '''Velocità Lineare:''' È la variazione della posizione di un punto nello spazio rispetto al tempo. Per un punto <math>P(t)</math> con coordinate <math>(x(t), y(t), z(t))</math>, la velocità lineare è definita come:  <math>v = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2}</math>.  La velocità lineare è particolarmente significativa nei movimenti traslatori, come quelli del condilo mediotrusivo, che si sposta lungo traiettorie più lunghe piuttosto che il fenomemo rototraslatorio dal punto <math>1L_c-8L_c</math> del condilo laterotrusivo.
* '''Velocità Angolare:''' È la variazione dell’angolo di rotazione attorno a un asse rispetto al tempo. Considerando un angolo <math>\theta(t)</math>, la velocità angolare è definita come:  <math>\omega = \frac{d\theta}{dt}</math>.  Questa componente predomina nei movimenti di rotazione del condilo laterotrusivo dove l’arco descritto dalla rotazione è più rilevante rispetto alla traslazione.
* '''Velocità Angolare:''' È la variazione dell’angolo di rotazione attorno a un asse rispetto al tempo. Considerando un angolo <math>\theta(t)</math>, la velocità angolare è definita come:  <math>\omega = \frac{d\theta}{dt}</math>.  Questa componente predomina nei movimenti di rotazione del condilo laterotrusivo dove l’arco descritto dalla rotazione è più rilevante rispetto alla traslazione.




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Il condilo mediotrusivo, con un raggio maggiore, mostra una velocità lineare <math>v</math> più elevata per sincronizzarsi con il condilo laterotrusivo.
Il condilo mediotrusivo, con un raggio maggiore, mostra una velocità lineare <math>v</math> più elevata per sincronizzarsi con il condilo laterotrusivo.


Utilizzando i dati relativi a distanze e angoli riportati in tabelle 1,2,3,4 e 5 e nello specifico, per semplificazione soltanto la distanza tra il punto<math>1-7</math> abbiamo che sul Condilo Laterotrusivo <math>L_c</math>) la distanza percorsa è di  <math>d_{L_c} = 0.898 \, \text{mm}</math> con un angolo formato tra i punti occlusali  <math>1-7</math> con vertice in <math>1L_c</math> calcolato in  <math>\approxeq\theta_{L_c}'' = 5 ^\circ</math> per distinguerlo da <math>\theta_{L_c} = 42 ^\circ</math> e che rimane simile per tutti le aree del sistema ( condilo mediotrusivo, molari ed incisivo). Il moto è prevalentemente rotatorio, con una componente traslatoria ridotta.
Utilizzando i dati relativi a distanze e angoli riportati in tabelle 1,2,3,4 e 5 e nello specifico, per semplificazione soltanto la distanza tra il punto<math>1-7</math> abbiamo che sul Condilo Laterotrusivo <math>L_c</math> la distanza percorsa è di  <math>d_{L_c} = 0.898 \, \text{mm}</math> con un angolo formato tra i punti occlusali  <math>1-7</math> con vertice in <math>1L_c</math> calcolato in  <math>\approxeq\theta_{L_c}'' = 5 ^\circ</math> per distinguerlo da <math>\theta_{L_c} = 42 ^\circ</math> e che rimane simile per tutti le aree del sistema ( condilo mediotrusivo, molari ed incisivo). Il moto è prevalentemente rotatorio, con una componente traslatoria ridotta.


La tebella riasume i parametri per la valitazione analitica delle velocità:
La tabella '''X''' riassume i parametri per la valitazione analitica delle velocità:
{| class="wikitable"
|+
!Marker
!Distanza
<math>1-7</math>
!Angolo
<math>1-7</math>
!Velocità
|-
|<math>1L_c-7L_c</math>
|<math>0.898</math>
|<math>\approxeq 5^\circ</math>
|
|-
|<math>1L_m-7L_m </math>
|<math>3.93</math>
|<math>\approxeq 5^\circ</math>
|
|-
|<math>1_I-7_ I</math>
|<math>5.12</math>
|<math>\approxeq 5^\circ</math>
|
|-
|<math>1M_m-7M_m</math>
|<math>4.81</math>
|<math>\approxeq 5^\circ</math>
|
|-
|<math>1M_c-7M_c</math>
|<math>2.61</math>
|<math>\approxeq 5^\circ</math>
|
|}
Nel Condilo Mediotrusivo (M<sub>c</sub>), invece, la distanza percorsa è <math>d_{M_c} = 2.61 \, \text{mm}</math> con un angolo: <math>\theta_{M_c} = 166^\circ</math>. Il movimento è prevalentemente traslatorio, suggerendo una velocità lineare più elevata. 
 
{{Rosso inizio}}'''nell'area Incisivi e Molari**:'''{{Rossofine}}


Nel Condilo Mediotrusivo (M<sub>c</sub>), invece, la distanza percorsa è <math>d_{M_c} = 2.61 \, \text{mm}</math>. Il movimento è prevalentemente traslatorio, suggerendo una velocità lineare più elevata.
----
== Analisi del Movimento Simultaneo verso il Punto 1 ==
== Analisi del Movimento Simultaneo verso il Punto 1 ==


=== Fattori Considerati ===
'''Sincronizzazione Temporale:''' 
Entrambi i condili devono completare il movimento di ritorno nello stesso intervallo di tempo (<math>t_{tot}</math>), indipendentemente dalla distanza percorsa.


'''Differenze nelle Distanze:''' 
L'analisi del movimento simultaneo durante la chiusura mandibolare è cruciale per comprendere la sincronizzazione tra le diverse strutture coinvolte. Ogni elemento della mandibola (condili, molari e incisivi) segue un proprio percorso, percorrendo distanze differenti, ma tutti devono 'ritornare contemporaneamente alla posizione di massima intercuspidazione (punto 1). Poiché le distanze percorse sono diverse, la velocità di ciascun segmento deve variare in modo proporzionale per garantire il 'tempo di ritorno uniforme'.  
- <math>d_{L_c} = 0.898 \, \text{mm}</math> (condilo laterotrusivo)
- <math>d_{M_c} = 2.61 \, \text{mm}</math> (condilo mediotrusivo)  


'''Velocità di Ritorno Necessaria:'''  
=== Sincronizzazione Temporale e Differenze nelle Distanze ===  
La velocità del <math>M_c</math> deve essere proporzionalmente maggiore per compensare la maggiore distanza percorsa nello stesso tempo.


---
'''Principio della sincronizzazione:'''  Indipendentemente dalla distanza percorsa, 'tutti i punti devono raggiungere il punto 1 nello stesso tempo' <math>t_{tot}</math>. 


=== Calcolo della Velocità Necessaria ===
'''Distanze percorse dai vari segmenti:''' 
 
Assumiamo che il tempo di ritorno (<math>t_{tot}</math>) sia governato dal condilo <math>L_c</math>, con velocità media di ritorno basata sul dato iniziale (<math>v_{L_c} = 224.5 \, \text{mm/s}</math>):
 
<math>t_{tot} = \frac{d_{L_c}}{v_{L_c}} = \frac{0.898}{224.5} \approx 0.004 \, \text{s}</math>
 
Per il condilo <math>M_c</math>, la velocità media necessaria (<math>v_{M_c}</math>) è:
 
<math>v_{M_c} = \frac{d_{M_c}}{t_{tot}} = \frac{2.61}{0.004} \approx 652.5 \, \text{mm/s}</math>
 
---
 
=== Tabella delle Velocità Aggiornata ===


{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
|+ Velocità di Ritorno Aggiornate
|+ Tabella X: Distanze percorse dai marker
! '''Marker''' || '''Distanza''' (<math>d_{1-7}</math>, mm) || '''Angolo''' (°) || '''Velocità''' (<math>\text{mm/s}</math>)
! Struttura || Distanza percorsa <math>d</math> (mm)
|-
|-
| <math>1L_c - 7L_c</math> || <math>0.898</math> || <math>\approx 5^\circ</math> || <math>19.61</math>
| Condilo laterotrusivo <math>L_c</math> || <math>0.898</math>
|-
|-
| <math>1L_m - 7L_m</math> || <math>3.93</math> || <math>\approx 5^\circ</math> || <math>85.79</math>
| Condilo mediotrusivo <math>M_c</math> || <math>2.61</math>
|-
|-
| <math>1I - 7I</math> || <math>5.12</math> || <math>\approx 5^\circ</math> || <math>111.73</math>
| Molare laterotrusivo <math>L_m</math> || <math>3.93</math>
|-
|-
| <math>1M_m - 7M_m</math> || <math>4.81</math> || <math>\approx 5^\circ</math> || <math>104.96</math>
| Molare mediotrusivo <math>M_m</math> || <math>4.81</math>
|-
|-
| <math>1M_c - 7M_c</math> || <math>2.61</math> || <math>\approx 5^\circ</math> || <math>56.97</math>
| Incisivo <math>I</math> || <math>5.12</math>
|}
|}
Poiché i valori di <math>d</math> sono diversi, ciascuna struttura deve adattare la sua 'velocità di ritorno' per rispettare <math>t_{tot}</math>. 


---
---


=== Interpretazione Biomeccanica ===
=== Calcolo della Velocità di Ritorno ===


'''Velocità Significativamente Maggiore nel <math>M_c</math>:''' 
Assumiamo che il tempo totale <math>t_{tot}</math> sia governato dal condilo laterotrusivo <math>L_c</math>, il cui valore sperimentale è: 
Il <math>M_c</math> deve operare con una velocità media di <math>652.5 \, \text{mm/s}</math>, quasi tripla rispetto a quella del <math>L_c</math> (<math>224.5 \, \text{mm/s}</math>). Questo incremento è necessario per sincronizzarsi con il condilo laterotrusivo, che percorre una distanza minore nello stesso intervallo di tempo.


'''Ruolo Funzionale del <math>M_c</math>:''' 
<math>t_{tot} = \frac{d_{L_c}}{v_{L_c}} = \frac{0.898}{224.5} \approx 0.004 \text{ s}</math>   
La velocità più alta del <math>M_c</math> riflette il suo ruolo dinamico e adattativo. Questo condilo deve compensare: 
- La maggiore distanza del tragitto. 
- La necessità di stabilizzare il movimento mandibolare e mantenere un equilibrio biomeccanico.  


'''Efficienza del <math>L_c</math>:''' 
Dove <math>v_{L_c} = 224.5</math> mm/s è il valore medio calcolato sulla base della letteratura (<math>222-225</math> mm/s).<ref>Ramón Fuentes, Alain Arias, María Florencia Lezcano, Diego Saravia, Gisaku Kuramochi, Pablo Navarro, Fernando José Dias. A New Tridimensional Insight into Geometric and Kinematic Characteristics of Masticatory Cycles in Participants with Normal Occlusion.Biomed Res Int. 2018 Sep 3:2018:2527463.doi: 10.1155/2018/2527463. eCollection 2018.
Il condilo <math>L_c</math>, percorrendo una distanza più breve, opera a velocità inferiori, il che indica una maggiore stabilità durante i movimenti masticatori laterali.


== Analisi del Movimento Simultaneo verso il Punto 1 ==
</ref> 


=== Fattori Considerati ===
Ora possiamo calcolare le velocità per ogni segmento usando la formula: 


**Sincronizzazione Temporale** 
<math>v = \frac{d}{t_{tot}}</math>
Entrambi i condili devono completare il movimento di ritorno nello stesso intervallo di tempo (<math>t_{tot}</math>), indipendentemente dalla distanza percorsa.


**Differenze nelle Distanze** 
'''Velocità di ritorno per ogni segmento:'''  
- Condilo laterotrusivo (<math>L_c</math>): <math>d_{L_c} = 0.898 \, \text{mm}</math>. 
- Condilo mediotrusivo (<math>M_c</math>): <math>d_{M_c} = 2.61 \, \text{mm}</math>.  


**Velocità di Ritorno Necessaria** 
{| class="wikitable"
La velocità del <math>M_c</math> deve essere proporzionalmente maggiore per compensare la maggiore distanza percorsa nello stesso tempo.
|+ Velocità calcolate per i vari settori
! Struttura || Distanza <math>d</math> (mm) || Velocità <math>v</math> (mm/s) || Velocità <math>v</math> (m/s)
|-
| Condilo laterotrusivo <math>L_c</math> || <math>0.898</math> || <math>224.5</math> || <math>0.2245</math>
|-
| Condilo mediotrusivo <math>M_c</math> || <math>2.61</math> || <math>652.5</math> || <math>0.6525</math>
|-
| Molare laterotrusivo <math>L_m</math> || <math>3.93</math> || <math>982.5</math> || <math>0.9825</math>
|-
| Molare mediotrusivo <math>M_m</math> || <math>4.81</math> || <math>1202.5</math> || <math>1.2025</math>
|-
| Incisivo <math>I</math> || <math>5.12</math> || <math>1280.0</math> || <math>1.2800</math>
|}


=== Calcolo della Velocità Necessaria ===
'''Osservazioni:'''   


Assumiamo che il tempo di ritorno (<math>t_{tot}</math>) sia governato dal condilo <math>L_c</math>, la cui velocità media di ritorno è basata sul dato iniziale (<math>v_{L_c} = 224.5 \, \text{mm/s}</math>): 
✔️ La velocità **aumenta** con la distanza percorsa.  


<math>t_{tot} = \frac{d_{L_c}}{v_{L_c}} = \frac{0.898}{224.5} \approx 0.004 \, \text{s}</math> 
✔️ L’incisivo ha la velocità più alta perché percorre il tragitto più lungo.  


Per il condilo <math>M_c</math>, la velocità media necessaria (<math>v_{M_c}</math>) è:  
✔️ Il condilo laterotrusivo ha la velocità più bassa perché si muove prevalentemente in **rotazione**.  


<math>v_{M_c} = \frac{d_{M_c}}{t_{tot}} = \frac{2.61}{0.004} \approx 652.5 \, \text{mm/s}</math> 
---
 
=== Interpretazione Biomeccanica ===
 
**Velocità Significativamente Maggiore nel <math>M_c</math>** 
Il condilo <math>M_c</math> deve operare con una velocità media di <math>652.5 \, \text{mm/s}</math>, quasi tripla rispetto a quella del <math>L_c</math> (<math>224.5 \, \text{mm/s}</math>). Questo incremento è necessario per sincronizzarsi con il condilo laterotrusivo, che percorre una distanza minore nello stesso intervallo di tempo.
 
**Ruolo Funzionale del <math>M_c</math>** 
La velocità più alta del <math>M_c</math> riflette il suo ruolo dinamico e adattativo. Questo condilo deve compensare: 
- La maggiore distanza del tragitto. 
- La necessità di stabilizzare il movimento mandibolare e mantenere un equilibrio biomeccanico. 
 
**Efficienza del <math>L_c</math>** 
Il condilo <math>L_c</math>, percorrendo una distanza più breve, opera a velocità inferiori, indicando una maggiore stabilità durante i movimenti masticatori laterali.
 
=== Conclusione ===
 
La maggiore distanza percorsa dal <math>M_c</math> richiede un incremento significativo della velocità di ritorno, raggiungendo <math>652.5 \, \text{mm/s}</math>, per sincronizzarsi con il condilo <math>L_c</math>. Questo fenomeno è un chiaro esempio di adattamento biomeccanico, dove la mandibola bilancia le differenze di distanza e velocità tra i due condili per garantire una chiusura armonica e simultanea.
 
==Rappresentazione cinematica attraverso una conica==
 
Per descrivere la forma ellittica dei tracciati dentali generati dal moto rototraslazionale dei condili, utilizziamo una conica (ellisse) sovrapposta a punti specifici. Questo modello evidenzia il contributo dei movimenti condilari e delle distanze occlusali nella generazione dei tracciati pseudoellittici.
 
Supponiamo di analizzare il tracciato del molare ipsilaterale durante la laterotrusione, con cinque punti distinti: <math>(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3), (x_4, y_4), (x_5, y_5)</math>. 
 
L'equazione generale dell'ellisse centrata nell'origine è: 
 
<math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</math> 
 
Per determinare i semiassi <math>a</math> e <math>b</math>, minimizziamo la funzione di costo:   
 
<math>J(a, b) = \sum_{i=1}^5 \left[ \left( \frac{x_i^2}{a^2} + \frac{y_i^2}{b^2} - 1 \right)^2 \right]</math> 
 
Questa ellisse rappresenta il tracciato pseudoellittico, dove: 
*Un valore maggiore di <math>a</math> indica una maggiore influenza del condilo laterotrusivo.
*Un valore minore di <math>b</math> suggerisce un'influenza ridotta del condilo mediotrusivo o delle distanze occlusali.
 
Questo metodo è applicabile anche ai tracciati incisali e molari controlaterali, permettendo una rappresentazione formale e quantitativa dei tracciati complessi.
 
===Descrizione della funzione 'Conica'===
Una conica è rappresentata da un'equazione generale in due variabili \(x\) e \(y\), definita come:
 
<math>Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0</math>
 
I coefficienti <math>(A, B, C, D, E, F)</math> definiscono la geometria della conica e sono derivati dai punti dati appartenenti alla conica. Di seguito, una descrizione dettagliata di ogni termine:
 
'''Significato dei Coefficienti'''
 
-<math>A</math>: Coefficiente del termine <math>x^2</math>, che influisce sulla curvatura della conica lungo l'asse <math>x</math>.
 
<math>B</math>: Coefficiente del termine <math>xy</math>, responsabile della rotazione della conica.
 
<math>C</math>: Coefficiente del termine <math>y^2</math>, che influisce sulla curvatura della conica lungo l'asse <math>y</math>.
 
<math>D:</math> Coefficiente del termine <math>x</math>, che influisce sullo spostamento orizzontale.
 
<math>E</math> Coefficiente del termine <math>y</math>, che influisce sullo spostamento verticale.
 
<math>F</math>: Termine costante che determina la posizione della conica rispetto all'origine.
 
'''Determinazione dei Coefficienti dai Punti'''
 
Per determinare i coefficienti, si usa un sistema lineare di equazioni derivato dall'inserimento dei punti dati <math>(x_i, y_i)</math> nella forma generale della conica. Dato <math>n</math> punti <math>(x_i, y_i)</math>, ogni punto genera un'equazione:
 
<math>Ax_i^2 + Bx_i y_i + Cy_i^2 + Dx_i + Ey_i + F = 0</math>
 
Se si conoscono almeno 5 punti distinti, il sistema lineare può essere risolto per determinare <math>(A, B, C, D, E, F)</math>.
 
'''Metodo di Calcolo'''
 
a) Costruzione della Matrice del Sistema Lineare:
 
I punti dati <math>(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)</math> vengono usati per costruire un sistema lineare:
 
<math>
\begin{bmatrix}
x_1^2 & x_1y_1 & y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\
x_2^2 & x_2y_2 & y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
x_n^2 & x_ny_n & y_n^2 & x_n & y_n & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
A \\ B \\ C \\ D \\ E \\ F
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0
\end{bmatrix}
</math>
 
Questa matrice è quadrata se si hanno esattamente 6 punti e può essere risolta per determinare i coefficienti <math>(A, B, C, D, E, F)</math>
 
 
b) Determinazione di <math>F</math>::
 
Il termine <math>F</math> è un risultato diretto della risoluzione del sistema lineare, non ha un significato specifico isolato, ma contribuisce alla posizione della conica. Se la conica è centrata sull'origine, <math>F</math> può assumere valori specifici (ad esempio, 0 per semplificazioni).
 
'''Discriminante della Conica'''
 
Il discriminante della conica si calcola come:
 
<math>\Delta = B^2 - 4AC</math>
 
Il tipo di conica dipende dal valore di \(\Delta\)<math>\Delta</math>:
 
<math>\Delta < 0</math>: Ellisse.
 
<math>\Delta = 0</math>: Parabola.
 
<math>\Delta > 0</math> Iperbole.
===Calcolo delle Coniche===
'''Conica del Molare Laterotrusivo'''
 
'''Punti forniti:'''   
 
<math>P_1 = (255.7, -816), \, P_2 = (345.2, -844.5), \, P_3 = (1148.2, -124.6), \, P_4 = (1164.1, -64.2), \, P_5 = (44, -34.9)</math>. 
 
'''Equazione della conica:'''   
 
<math>A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0</math>. 
 
'''Coefficiente calcolati:'''   
 
<math>A = 1.1 \cdot 10^{-6}, \, B = -3.4 \cdot 10^{-6}, \, C = 2.7 \cdot 10^{-6}, \, D = 0.0045, \, E = -0.0039, \, F = 1.2</math>. 
 
'''Discriminante:'''   
 
<math>\Delta = B^2 - 4AC = (-3.4 \cdot 10^{-6})^2 - 4 (1.1 \cdot 10^{-6})(2.7 \cdot 10^{-6})  </math> 
 
<math>\Delta = 1.156 \cdot 10^{-11} - 1.188 \cdot 10^{-11} \approx -0.032 \cdot 10^{-11}  </math>. 
 
'''Conclusione:''' 
 
Poiché <math>\Delta < 0</math>, la conica è un’'''ellisse'''. 
 
 
'''Conica dell'Incisivo'''
 
'''Punti forniti:'''  <math>P_1 = (509.6, -1139.9), \, P_2 = (631.5, -1151.8), \, P_3 = (1148.2, -124.6), \, P_4 = (1164.1, -64.2), \, P_5 = (44, -34.9)</math>. 
 
'''Equazione della conica:'''   
 
<math>A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0</math>. 
 
'''Coefficiente calcolati:'''   
 
<math>A = 2.3 \cdot 10^{-6}, \, B = -1.1 \cdot 10^{-6}, \, C = 3.5 \cdot 10^{-6}, \, D = 0.0063, \, E = -0.0041, \, F = 0.9</math>. 
 
'''Discriminante:'''   
 
<math>\Delta = B^2 - 4AC = (-1.1 \cdot 10^{-6})^2 - 4 (2.3 \cdot 10^{-6})(3.5 \cdot 10^{-6})</math>   
 
<math>\Delta = 1.21 \cdot 10^{-12} - 3.22 \cdot 10^{-11} \approx -3.1 \cdot 10^{-11}</math>. 
 
'''Conclusione:''' Poiché <math>\Delta < 0</math>, la conica è un’'''ellisse''' (ellisse più grande rispetto alla precedente). 
 
'''Conica del Molare Mediotrusivo'''
 
'''Punti forniti:'''   
 
<math>P_1 = (820.1, -852.9), \, P_2 = (906.2, -849), \, P_3 = (1148.2, -124.6), \, P_4 = (1164.1, -64.2), \, P_5 = (44, -34.9)</math>. 
 
'''Equazione della conica:'''   


<math>A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0</math>.  
=== Interpretazione Biomeccanica ===  


'''Coefficiente calcolati:'''     
'''🔹 Ruolo del Condilo Laterotrusivo <math>L_c</math>'''     


<math>A = -2.4 \cdot 10^{-6}, \, B = 4.8 \cdot 10^{-6}, \, C = -3.1 \cdot 10^{-6}, \, D = 0.0038, \, E = -0.0022, \, F = -0.7</math>.
La velocità relativamente bassa (<math>0.2245 \, \text{m/s}</math>) e la breve distanza percorsa (<math>0.898 \, \text{mm}</math>) riflettono un movimento prevalentemente rotatorio. Il <math>L_c</math> funge da "pivot" durante il movimento mandibolare. Movimento prevalentemente 'rotatorio' attorno a un asse verticale. Breve distanza percorsa  'velocità minore'. Funziona come ''''fulcro'''<nowiki/>' del movimento mandibolare. Questo termine 'Fulcro' riprende l'asserzione precedentemente esposta di come il fulcro in questo caso dell'asse cerniera verticale assuma un posto di primo piano nel fenomeno cinematico mandibolare.


'''Discriminante:'''  
'''🔹 Ruolo del Condilo Mediotrusivo <math>M_c</math>'''  


<math>\Delta = B^2 - 4AC = (4.8 \cdot 10^{-6})^2 - 4 (-2.4 \cdot 10^{-6})(-3.1 \cdot 10^{-6})  </math>  
Con una velocità media di <math>0.6525 \, \text{m/s}</math>, il <math>M_c</math> compensa la distanza maggiore (<math>2.61 \, \text{mm}</math>) con una componente traslatoria predominante. Questo condilo stabilizza il movimento mandibolare e bilancia la forza generata dal <math>L_c</math>.  Movimento prevalentemente 'traslatorio' lungo una traiettoria più ampia. Distanza maggiore 'velocità superiore'. Stabilizza il movimento per sincronizzarsi con il condilo laterotrusivo. Se questo condilo è stabilizzatore avrà un significato particolare nel sincronizzarsi con il condilo laterotrusivo e ciò anticipa l'interessante argomento del prossimo capitolo che riguarda la 'magia della sfera condilare'. 


<math>\Delta = 2.304 \cdot 10^{-11} - 2.976 \cdot 10^{-11} \approx 0.672 \cdot 10^{-11}</math>. 
'''🔹 Ruolo dei Molari''' 


'''Conclusione:'''  
Il molare laterotrusivo (<math>L_m</math>) mostra una velocità più elevata (<math>0.9825 \, \text{m/s}</math>) rispetto al condilo <math>L_c</math>, suggerendo che la sua traiettoria dipenda sia dalla rotazione del <math>L_c</math> sia dalla traslazione del <math>M_c</math>. 
- Il molare mediotrusivo (<math>M_m</math>) ha una velocità simile (<math>1.2025 \, \text{m/s}</math>) all’incisivo, suggerendo un maggiore coinvolgimento nei movimenti traslatori.  Il 'molare laterotrusivo' (<math>L_m</math>) segue una traiettoria influenzata sia dalla 'rotazione' del condilo laterotrusivo sia dalla 'traslazione' del condilo mediotrusivo. Il 'molare mediotrusivo (<math>M_m</math>) ha un movimento più 'traslatorio', con velocità più elevata rispetto a <math>L_m</math>. 


Poiché <math>\Delta > 0</math>, la conica è un’'''iperbole'''. 
'''🔹 Ruolo dell’Incisivo'''  
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La velocità massima (<math>1.28 \, \text{m/s}</math>) riflette il suo ruolo come punto guida dei movimenti mandibolari. L’incisivo integra i contributi biomeccanici dei due condili, mostrando una traiettoria influenzata sia dalla rotazione che dalla traslazione.  Percorre la distanza più lunga, quindi 'raggiunge la massima velocità'.  La sua traiettoria è influenzata sia dalla rotazione del condilo laterotrusivo che dalla traslazione del condilo mediotrusivo. 


[[File:Conica.jpg|600x600px|'''Figura 7b:''' <small>Conica passante per 5 punti strategici. La discrepanza tra i vettori e la conica mostra il diverso contributo della traslazione e della rotazione condilare.</small>|center|thumb]] 
📌 In conclusione, la mandibola bilancia le 'differenze di distanza' attraverso variazioni di velocità, garantendo che tutti i punti raggiungano 'contemporaneamente' la massima intercuspidazione. Implicazioni: Questo modello può essere utilizzato per comprendere le 'disfunzioni temporomandibolari (DTM)'. L'analisi cinematica è fondamentale per lo sviluppo di 'protesi occlusali ottimizzate' ed evitare incongruenze ed interferenze occlusali.<ref>Thomas R Morneburg 1, Peter A Pröschel. Predicted incidence of occlusal errors in centric closing around arbitrary axes.Int J Prosthodont. 2002 Jul-Aug;15(4):358-64.


</ref> 


'''Applicazione della conica per individuare punti cinematici'''  
Future ricerche possono affinare la modellizzazione basata sulle 'coniche e sugli schemi neurofisiologici' associati al movimento mandibolare.  


La conica permette di prevedere il punto condilare laterotrusivo (<math>7L_c</math>) conoscendo due punti di riferimento (iniziale e finale). Questo approccio consente di analizzare deviazioni e adattamenti nei tracciati mandibolari reali, migliorando l’interpretazione della cinematica mandibolare.
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Latest revision as of 17:34, 2 February 2025

La rappresentazione spaziale dei markers etichettati come punto 1,2,3.....8 ci ha restituito distanze in millimetri ed angoli tra i punti ed il punto 1 (massima intercuspidazione) considerato come riferimento. Rimane ora da razionalizzare il contenuto geometrico matematico estrapolandone il concetto di velocità nelle diverse aree del sistema ( condili e punti occlusali) e la rappresentazione del fenomeno cinematico attraverso un formalismo matematico denominato 'conica'. Solo dopo formalizzato questo argomento si potranno generare delle asserzioni sul tema specifico.

Analisi delle Velocità nella cinematica masticatoria

Velocità Lineari e Angolari

Il movimento mandibolare rappresenta una combinazione complessa di traslazioni lineari e rotazioni angolari. Questi due fenomeni possono essere descritti matematicamente come segue:

  • Velocità Lineare: È la variazione della posizione di un punto nello spazio rispetto al tempo. Per un punto   con coordinate  , la velocità lineare è definita come:  . La velocità lineare è particolarmente significativa nei movimenti traslatori, come quelli del condilo mediotrusivo, che si sposta lungo traiettorie più lunghe piuttosto che il fenomemo rototraslatorio dal punto   del condilo laterotrusivo.
  • Velocità Angolare: È la variazione dell’angolo di rotazione attorno a un asse rispetto al tempo. Considerando un angolo  , la velocità angolare è definita come:  . Questa componente predomina nei movimenti di rotazione del condilo laterotrusivo dove l’arco descritto dalla rotazione è più rilevante rispetto alla traslazione.


Relazione Geometrica tra Velocità Lineare e Angolare

Se un punto si muove lungo un arco di raggio  , le velocità lineare   e angolare   sono legate dalla relazione:

 .

In ambito mandibolare:

Il condilo laterotrusivo, con un raggio   più piccolo, sviluppa una velocità angolare   maggiore.

Il condilo mediotrusivo, con un raggio maggiore, mostra una velocità lineare   più elevata per sincronizzarsi con il condilo laterotrusivo.

Utilizzando i dati relativi a distanze e angoli riportati in tabelle 1,2,3,4 e 5 e nello specifico, per semplificazione soltanto la distanza tra il punto  abbiamo che sul Condilo Laterotrusivo   la distanza percorsa è di   con un angolo formato tra i punti occlusali   con vertice in   calcolato in   per distinguerlo da   e che rimane simile per tutti le aree del sistema ( condilo mediotrusivo, molari ed incisivo). Il moto è prevalentemente rotatorio, con una componente traslatoria ridotta.

La tabella X riassume i parametri per la valitazione analitica delle velocità:

Nel Condilo Mediotrusivo (Mc), invece, la distanza percorsa è  . Il movimento è prevalentemente traslatorio, suggerendo una velocità lineare più elevata.

Analisi del Movimento Simultaneo verso il Punto 1

L'analisi del movimento simultaneo durante la chiusura mandibolare è cruciale per comprendere la sincronizzazione tra le diverse strutture coinvolte. Ogni elemento della mandibola (condili, molari e incisivi) segue un proprio percorso, percorrendo distanze differenti, ma tutti devono 'ritornare contemporaneamente alla posizione di massima intercuspidazione (punto 1). Poiché le distanze percorse sono diverse, la velocità di ciascun segmento deve variare in modo proporzionale per garantire il 'tempo di ritorno uniforme'.

Sincronizzazione Temporale e Differenze nelle Distanze

Principio della sincronizzazione: Indipendentemente dalla distanza percorsa, 'tutti i punti devono raggiungere il punto 1 nello stesso tempo'  .

Distanze percorse dai vari segmenti:

Tabella X: Distanze percorse dai marker
Struttura Distanza percorsa   (mm)
Condilo laterotrusivo    
Condilo mediotrusivo    
Molare laterotrusivo    
Molare mediotrusivo    
Incisivo    

Poiché i valori di   sono diversi, ciascuna struttura deve adattare la sua 'velocità di ritorno' per rispettare  .

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Calcolo della Velocità di Ritorno

Assumiamo che il tempo totale   sia governato dal condilo laterotrusivo  , il cui valore sperimentale è:

 

Dove   mm/s è il valore medio calcolato sulla base della letteratura (  mm/s).[1]

Ora possiamo calcolare le velocità per ogni segmento usando la formula:

 

Velocità di ritorno per ogni segmento:

Velocità calcolate per i vari settori
Struttura Distanza   (mm) Velocità   (mm/s) Velocità   (m/s)
Condilo laterotrusivo        
Condilo mediotrusivo        
Molare laterotrusivo        
Molare mediotrusivo        
Incisivo        

Osservazioni:

✔️ La velocità **aumenta** con la distanza percorsa.

✔️ L’incisivo ha la velocità più alta perché percorre il tragitto più lungo.

✔️ Il condilo laterotrusivo ha la velocità più bassa perché si muove prevalentemente in **rotazione**.

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Interpretazione Biomeccanica

🔹 Ruolo del Condilo Laterotrusivo  

La velocità relativamente bassa ( ) e la breve distanza percorsa ( ) riflettono un movimento prevalentemente rotatorio. Il   funge da "pivot" durante il movimento mandibolare. Movimento prevalentemente 'rotatorio' attorno a un asse verticale. Breve distanza percorsa 'velocità minore'. Funziona come 'fulcro' del movimento mandibolare. Questo termine 'Fulcro' riprende l'asserzione precedentemente esposta di come il fulcro in questo caso dell'asse cerniera verticale assuma un posto di primo piano nel fenomeno cinematico mandibolare.

🔹 Ruolo del Condilo Mediotrusivo  

Con una velocità media di  , il   compensa la distanza maggiore ( ) con una componente traslatoria predominante. Questo condilo stabilizza il movimento mandibolare e bilancia la forza generata dal  . Movimento prevalentemente 'traslatorio' lungo una traiettoria più ampia. Distanza maggiore 'velocità superiore'. Stabilizza il movimento per sincronizzarsi con il condilo laterotrusivo. Se questo condilo è stabilizzatore avrà un significato particolare nel sincronizzarsi con il condilo laterotrusivo e ciò anticipa l'interessante argomento del prossimo capitolo che riguarda la 'magia della sfera condilare'.

🔹 Ruolo dei Molari

Il molare laterotrusivo ( ) mostra una velocità più elevata ( ) rispetto al condilo  , suggerendo che la sua traiettoria dipenda sia dalla rotazione del   sia dalla traslazione del  . - Il molare mediotrusivo ( ) ha una velocità simile ( ) all’incisivo, suggerendo un maggiore coinvolgimento nei movimenti traslatori. Il 'molare laterotrusivo' ( ) segue una traiettoria influenzata sia dalla 'rotazione' del condilo laterotrusivo sia dalla 'traslazione' del condilo mediotrusivo. Il 'molare mediotrusivo ( ) ha un movimento più 'traslatorio', con velocità più elevata rispetto a  .

🔹 Ruolo dell’Incisivo

La velocità massima ( ) riflette il suo ruolo come punto guida dei movimenti mandibolari. L’incisivo integra i contributi biomeccanici dei due condili, mostrando una traiettoria influenzata sia dalla rotazione che dalla traslazione. Percorre la distanza più lunga, quindi 'raggiunge la massima velocità'. La sua traiettoria è influenzata sia dalla rotazione del condilo laterotrusivo che dalla traslazione del condilo mediotrusivo.

📌 In conclusione, la mandibola bilancia le 'differenze di distanza' attraverso variazioni di velocità, garantendo che tutti i punti raggiungano 'contemporaneamente' la massima intercuspidazione. Implicazioni: Questo modello può essere utilizzato per comprendere le 'disfunzioni temporomandibolari (DTM)'. L'analisi cinematica è fondamentale per lo sviluppo di 'protesi occlusali ottimizzate' ed evitare incongruenze ed interferenze occlusali.[2]

Future ricerche possono affinare la modellizzazione basata sulle 'coniche e sugli schemi neurofisiologici' associati al movimento mandibolare.

  1. ↑ Ramón Fuentes, Alain Arias, María Florencia Lezcano, Diego Saravia, Gisaku Kuramochi, Pablo Navarro, Fernando José Dias. A New Tridimensional Insight into Geometric and Kinematic Characteristics of Masticatory Cycles in Participants with Normal Occlusion.Biomed Res Int. 2018 Sep 3:2018:2527463.doi: 10.1155/2018/2527463. eCollection 2018.
  2. ↑ Thomas R Morneburg 1, Peter A Pröschel. Predicted incidence of occlusal errors in centric closing around arbitrary axes.Int J Prosthodont. 2002 Jul-Aug;15(4):358-64.
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