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3.2. Von Neumann-Formalismus für Quantenobservablen

Im ursprünglichen Quantenformalismus (Von Neumann, 1955) physikalisch beobachtbar $A$ wird durch einen hermiteschen Operator dargestellt ${\hat {A}}$ . Wir betrachten nur Operatoren mit diskreten Spektren: ${\hat {A}}=\sum _{x}x{\hat {E}}^{A}(x)$ Wo ${\hat {E}}^{A}(x)$ ist der Projektor auf den Unterraum von ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ entspricht dem Eigenwert ${\textstyle x}$ . Angenommen, der Zustand des Systems wird mathematisch durch einen Dichteoperator dargestellt ${\textstyle \rho }$. Dann die Wahrscheinlichkeit, die Antwort zu bekommen ${\textstyle x}$ ist durch die Born-Regel gegeben

${\textstyle Pr\{A=x||\rho \}=Tr[{\widehat {E}}^{A}(x)\rho ]=Tr[{\widehat {E}}^{A}(x)\rho {\widehat {E}}^{A}(x)]}$

$(5)$

und nach dem Projektionspostulat erhält man den Zustand nach der Messung über die Zustandstransformation:

${\textstyle \rho \rightarrow \rho _{x}={\frac {{\widehat {E}}^{A}(x)\rho {\widehat {E}}^{A}(x)}{Tr{\widehat {E}}^{A}(x)\rho {\widehat {E}}^{A}(x)}}}$

$(6)$

Der Einfachheit halber präsentieren wir diese Formeln für einen reinen Anfangszustand ${\textstyle \psi \in {\mathcal {H}}}$. Die Bornsche Regel hat die Form:

${\textstyle Pr\{A=x||\rho \}=||{\widehat {E}}^{A}(x)\psi ||^{2}=<\psi \mid {\widehat {E}}^{A}(x)\psi >}$

$(7)$

Die Zustandstransformation ist durch das Projektionspostulat gegeben:

${\textstyle \psi \rightarrow \psi _{x}={\widehat {E}}^{A}(x)\psi /\parallel {\widehat {E}}^{A}(x)\psi \parallel }$

$(8)$

Hier der Observable-Operator ${\hat {A}}$ (seine spektrale Zerlegung) bestimmt eindeutig die Rückkopplungszustandstransformationen ${\textstyle {\mathcal {\Im }}_{A}(x)}$für Ergebnisse ${\textstyle x}$

${\textstyle \rho \rightarrow \Im _{A}(x)\rho ={\widehat {E}}^{A}(x)\rho {\widehat {E}}^{A}(x)}$

$(9)$

Die Karte ${\textstyle \rho \rightarrow \Im _{A}(x)}$ gegeben durch (9) ist das einfachste (aber sehr wichtige) Beispiel eines Quanteninstruments.