Store:Asse Cerniera Verticale parte 3

La rappresentazione spaziale dei markers etichettati come punto 1,2,3.....8 ci ha restituito distanze in millimteri tra i punti ed il punto 1 (massima intercuspidazione) considerato come riferimento e contestualmente gli angoli. Rimane ora da razionalizzare il contentuo geometrico matematico estrapolandone il concetto di velocità nelle diverse aree del sistema ( condili e punti occlusali) e la rappresentazione del fenomeno cinematico attraverso una 'conica'. Solo dopo formalizzato questo argomento si potranno generare delle asserzioni sul tema specifico.

Analisi delle Velocità nei tracciati

Velocità Lineari e Angolari

Il movimento mandibolare rappresenta una combinazione complessa di traslazioni lineari e rotazioni angolari. Questi due fenomeni possono essere descritti matematicamente come segue:

• Velocità Lineare: È la variazione della posizione di un punto nello spazio rispetto al tempo. Per un punto $P(t)$ con coordinate $(x(t),y(t),z(t))$, la velocità lineare è definita come: $v={\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}}}$. La velocità lineare è particolarmente significativa nei movimenti traslatori, come quelli del condilo mediotrusivo, che si sposta lungo traiettorie più lung
• Velocità Angolare: È la variazione dell’angolo di rotazione attorno a un asse rispetto al tempo. Considerando un angolo $\theta (t)$, la velocità angolare è definita come: $\omega ={\frac {d\theta }{dt}}$. Questa componente predomina nei movimenti di rotazione del condilo laterotrusivo, dove l’arco descritto dalla rotazione è più rilevante rispetto alla traslazione.

Relazione Geometrica tra Velocità Lineare e Angolare

Se un punto si muove lungo un arco di raggio $r$, le velocità lineare $v$ e angolare $\omega$ sono legate dalla relazione:

$v=r\cdot \omega$.

In ambito mandibolare:

Il condilo laterotrusivo, con un raggio $r$ più piccolo, sviluppa una velocità angolare $\omega$ maggiore.

Il condilo mediotrusivo, con un raggio maggiore, mostra una velocità lineare $v$ più elevata per sincronizzarsi con il condilo laterotrusivo.

Utilizzando i dati relativi a distanze e angoli riportati in tabelle 1,2,3,4 e 5 e nello specifico consideriamo per semplificazione nonchè per importanza clinica soltanto la distanza tra il punto 7 ed 1. Per il Condilo Laterotrusivo (L_c) la distanza percorsa è di $d_{L_{c}}=0.898\,{\text{mm}}$ con un ngolo $\theta _{L_{c}}=42^{\circ }$. Il moto è prevalentemente rotatorio, con una componente traslatoria ridotta.

Nel Condilo Mediotrusivo (M_c), invece, la distanza percorsa è $d_{M_{c}}=2.61\,{\text{mm}}$ con un angolo: $\theta _{M_{c}}=166^{\circ }$. Il movimento è prevalentemente traslatorio, suggerendo una velocità lineare più elevata.

nell'area Incisivi e Molari**:

Gli incisivi e i molari combinano velocità lineari e angolari, risultanti dall’interazione tra condilo laterotrusivo e mediotrusivo.

Rappresentazione cinematica attraverso una conica

Per descrivere la forma ellittica dei tracciati dentali generati dal moto rototraslazionale dei condili, utilizziamo una conica (ellisse) sovrapposta a punti specifici. Questo modello evidenzia il contributo dei movimenti condilari e delle distanze occlusali nella generazione dei tracciati pseudoellittici.

Supponiamo di analizzare il tracciato del molare ipsilaterale durante la laterotrusione, con cinque punti distinti: $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4}),(x_{5},y_{5})$.

L'equazione generale dell'ellisse centrata nell'origine è:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

Per determinare i semiassi $a$ e $b$, minimizziamo la funzione di costo:

$J(a,b)=\sum _{i=1}^{5}\left[\left({\frac {x_{i}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{i}^{2}}{b^{2}}}-1\right)^{2}\right]$

Questa ellisse rappresenta il tracciato pseudoellittico, dove:

• Un valore maggiore di $a$ indica una maggiore influenza del condilo laterotrusivo.
• Un valore minore di $b$ suggerisce un'influenza ridotta del condilo mediotrusivo o delle distanze occlusali.

Questo metodo è applicabile anche ai tracciati incisali e molari controlaterali, permettendo una rappresentazione formale e quantitativa dei tracciati complessi.

Descrizione della funzione 'Conica'

Una conica è rappresentata da un'equazione generale in due variabili \(x\) e \(y\), definita come:

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

I coefficienti $(A,B,C,D,E,F)$ definiscono la geometria della conica e sono derivati dai punti dati appartenenti alla conica. Di seguito, una descrizione dettagliata di ogni termine:

Significato dei Coefficienti

-$A$: Coefficiente del termine $x^{2}$, che influisce sulla curvatura della conica lungo l'asse $x$.

$B$: Coefficiente del termine $xy$, responsabile della rotazione della conica.

$C$: Coefficiente del termine $y^{2}$, che influisce sulla curvatura della conica lungo l'asse $y$.

$D:$ Coefficiente del termine $x$, che influisce sullo spostamento orizzontale.

$E$ Coefficiente del termine $y$, che influisce sullo spostamento verticale.

$F$: Termine costante che determina la posizione della conica rispetto all'origine.

Determinazione dei Coefficienti dai Punti

Per determinare i coefficienti, si usa un sistema lineare di equazioni derivato dall'inserimento dei punti dati $(x_{i},y_{i})$ nella forma generale della conica. Dato $n$ punti $(x_{i},y_{i})$, ogni punto genera un'equazione:

$Ax_{i}^{2}+Bx_{i}y_{i}+Cy_{i}^{2}+Dx_{i}+Ey_{i}+F=0$

Se si conoscono almeno 5 punti distinti, il sistema lineare può essere risolto per determinare $(A,B,C,D,E,F)$.

Metodo di Calcolo

a) Costruzione della Matrice del Sistema Lineare:

I punti dati $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\dots ,(x_{n},y_{n})$ vengono usati per costruire un sistema lineare:

${\begin{bmatrix}x_{1}^{2}&x_{1}y_{1}&y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}&x_{2}y_{2}&y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\x_{n}^{2}&x_{n}y_{n}&y_{n}^{2}&x_{n}&y_{n}&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}A\\B\\C\\D\\E\\F\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}$

Questa matrice è quadrata se si hanno esattamente 6 punti e può essere risolta per determinare i coefficienti $(A,B,C,D,E,F)$

b) Determinazione di $F$::

Il termine $F$ è un risultato diretto della risoluzione del sistema lineare, non ha un significato specifico isolato, ma contribuisce alla posizione della conica. Se la conica è centrata sull'origine, $F$ può assumere valori specifici (ad esempio, 0 per semplificazioni).

Discriminante della Conica

Il discriminante della conica si calcola come:

$\Delta =B^{2}-4AC$

Il tipo di conica dipende dal valore di \(\Delta\)$\Delta$:

$\Delta <0$: Ellisse.

$\Delta =0$: Parabola.

$\Delta >0$ Iperbole.

Calcolo delle Coniche

Conica del Molare Laterotrusivo

Punti forniti:

$P_{1}=(255.7,-816),\,P_{2}=(345.2,-844.5),\,P_{3}=(1148.2,-124.6),\,P_{4}=(1164.1,-64.2),\,P_{5}=(44,-34.9)$.

Equazione della conica:

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$.

Coefficiente calcolati:

$A=1.1\cdot 10^{-6},\,B=-3.4\cdot 10^{-6},\,C=2.7\cdot 10^{-6},\,D=0.0045,\,E=-0.0039,\,F=1.2$.

Discriminante:

$\Delta =B^{2}-4AC=(-3.4\cdot 10^{-6})^{2}-4(1.1\cdot 10^{-6})(2.7\cdot 10^{-6})$

$\Delta =1.156\cdot 10^{-11}-1.188\cdot 10^{-11}\approx -0.032\cdot 10^{-11}$.

Conclusione:

Poiché $\Delta <0$, la conica è un’ellisse.

Conica dell'Incisivo

Punti forniti: $P_{1}=(509.6,-1139.9),\,P_{2}=(631.5,-1151.8),\,P_{3}=(1148.2,-124.6),\,P_{4}=(1164.1,-64.2),\,P_{5}=(44,-34.9)$.

Equazione della conica:

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$.

Coefficiente calcolati:

$A=2.3\cdot 10^{-6},\,B=-1.1\cdot 10^{-6},\,C=3.5\cdot 10^{-6},\,D=0.0063,\,E=-0.0041,\,F=0.9$.

Discriminante:

$\Delta =B^{2}-4AC=(-1.1\cdot 10^{-6})^{2}-4(2.3\cdot 10^{-6})(3.5\cdot 10^{-6})$

$\Delta =1.21\cdot 10^{-12}-3.22\cdot 10^{-11}\approx -3.1\cdot 10^{-11}$.

Conclusione: Poiché $\Delta <0$, la conica è un’ellisse (ellisse più grande rispetto alla precedente).

Conica del Molare Mediotrusivo

Punti forniti:

$P_{1}=(820.1,-852.9),\,P_{2}=(906.2,-849),\,P_{3}=(1148.2,-124.6),\,P_{4}=(1164.1,-64.2),\,P_{5}=(44,-34.9)$.

Equazione della conica:

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$.

Coefficiente calcolati:

$A=-2.4\cdot 10^{-6},\,B=4.8\cdot 10^{-6},\,C=-3.1\cdot 10^{-6},\,D=0.0038,\,E=-0.0022,\,F=-0.7$.

Discriminante:

$\Delta =B^{2}-4AC=(4.8\cdot 10^{-6})^{2}-4(-2.4\cdot 10^{-6})(-3.1\cdot 10^{-6})$

$\Delta =2.304\cdot 10^{-11}-2.976\cdot 10^{-11}\approx 0.672\cdot 10^{-11}$.

Conclusione:

Poiché $\Delta >0$, la conica è un’iperbole.

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Figura 7b: Conica passante per 5 punti strategici. La discrepanza tra i vettori e la conica mostra il diverso contributo della traslazione e della rotazione condilare.

Applicazione della conica per individuare punti cinematici

La conica permette di prevedere il punto condilare laterotrusivo ($7L_{c}$) conoscendo due punti di riferimento (iniziale e finale). Questo approccio consente di analizzare deviazioni e adattamenti nei tracciati mandibolari reali, migliorando l’interpretazione della cinematica mandibolare.

Discussione e Conclusioni

Cinematica Mandibolare e Tracciati Occlusali

La cinematica mandibolare deriva dall’interazione complessa tra i movimenti dei condili e i tracciati dentali, riflettendo dinamiche articolari e relazioni occlusali. Questa sezione analizza le correlazioni tra tracciati condilari e dentali, con implicazioni cliniche.

Condilo Laterotrusivo e Tracciati Occlusali

Il condilo laterotrusivo segue un tracciato di rotazione e traslazione laterale. La distanza $1L_{c}-7L_{c}=0.898\,{\text{mm}}$ e l'angolo associato evidenziano un'inversione protrusiva-retrusiva, influenzando tracciati occlusali come quelli del molare ipsilaterale. Il punto estremo del condilo ($7L_{c}$) segna una transizione biomeccanica cruciale, utile per valutare la stabilità articolare.

Durante la masticazione di cibi duri, il muscolo temporale accentua una chiusura lateroretrusiva, spostando la mandibola posteriormente. Questo fenomeno, descritto in studi clinici, conferma la correlazione tra tracciati articolari e forze occlusali.

Molari Ipsilaterali e Incisivi

I molari ipsilaterali mostrano tracciati coerenti con il moto condilare, ma influenzati dai contatti occlusali. La Tabella 2 evidenzia il graduale spostamento laterale, culminante in una medializzazione nel punto $7L_{m}$ con un angolo di $73^{\circ }$. Gli incisivi laterotrusivi combinano retrusione e lateralizzazione, con una distanza $1I-7I=5.12\,{\text{mm}}$ e un angolo $\theta \approx 85.1^{\circ }$, suggerendo un ruolo guida durante i movimenti laterali.

Condilo e Molare Mediotrusivi

Il condilo mediotrusivo esegue una traslazione mediale con limitata rotazione. La distanza $1M_{c}-7M_{c}=2.61\,{\text{mm}}$ e l'angolo $\theta \approx 166^{\circ }$ evidenziano un controllo maggiore rispetto al condilo laterotrusivo. Questo movimento influenza il tracciato del molare mediotrusivo, caratterizzato da inversioni direzionali come nel punto $6M_{m}$, fondamentali per il bilanciamento delle forze masticatorie.

Implicazioni Cliniche

Analizzare i tracciati condilari e dentali aiuta a identificare anomalie biomeccaniche e disfunzioni articolari, ad esempio:

• Un angolo di Bennett eccessivo ($\theta >20^{\circ }$) può indicare instabilità articolare.
• Tracciati irregolari suggeriscono asimmetrie muscolari o disfunzioni occlusali.

Queste informazioni sono essenziali per ottimizzare i trattamenti protesici e ortodontici, migliorando la distribuzione delle forze occlusali e riducendo il rischio di disordini temporomandibolari.

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Discussione sui Residui delle Coniche

La costruzione delle coniche a 5 punti ha permesso di modellare i tracciati mandibolari, evidenziando differenze nei residui tra molari ipsilaterali, controlaterali e incisivi.

Residuo del Molare Laterotrusivo

Il molare ipsilaterale segue quasi perfettamente la conica, grazie alla correlazione diretta con il condilo laterotrusivo. Il residuo è calcolato come: $R_{L_{m}}=A(x_{L_{m}})^{2}+Bx_{L_{m}}y_{L_{m}}+C(y_{L_{m}})^{2}+Dx_{L_{m}}+Ey_{L_{m}}+F$ Con $R_{L_{m}}\approx 0$, il molare rispecchia il moto rototraslazionale del condilo.

Residuo del Molare Mediotrusivo

Il molare mediotrusivo si discosta maggiormente dalla conica, poiché il condilo mediotrusivo esegue movimenti prevalentemente traslatori. Il residuo è: $R_{M_{m}}=A(x_{M_{m}})^{2}+Bx_{M_{m}}y_{M_{m}}+C(y_{M_{m}})^{2}+Dx_{M_{m}}+Ey_{M_{m}}+F$ Con $|R_{M_{m}}|>|R_{L_{m}}|$, il molare mediotrusivo riflette un'influenza traslatoria più marcata.

Residuo Incisale

Gli incisivi mostrano residui intermedi, poiché i loro tracciati sono influenzati da entrambi i condili. Il residuo è: $R_{I}=A(x_{I})^{2}+Bx_{I}y_{I}+C(y_{I})^{2}+Dx_{I}+Ey_{I}+F$, Con $|R_{L_{m}}|<|R_{I}|<|R_{M_{m}}|$, evidenziando una dinamica combinata.

Figura 7c: Discrepanze dei residui tra vettori e conica nei tracciati molari e incisali.

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In conclusione, l’analisi dei tracciati mandibolari tramite modelli matematici e geometrici evidenzia la complessità della cinematica mandibolare. La costruzione di coniche specifiche e unificate fornisce strumenti diagnostici utili per migliorare la funzione articolare e ottimizzare la distribuzione delle forze occlusali, gettando le basi per ulteriori studi sulla biomeccanica mandibolare.

Conclusione

1. Cinematica del punto: 6 gradi di libertà Quando consideriamo il movimento mandibolare come la cinematica di un punto, ogni condilo è rappresentato come un punto (centro condilare). La mandibola viene trattata come un corpo rigido in uno spazio tridimensionale, con i seguenti 6 gradi di libertà (DoF):

3 traslazioni lineari lungo gli assi cartesiani ($X$, $Y$, $Z$); 3 rotazioni angolari attorno agli stessi assi. In termini matematici: Un punto $P(t)$ in movimento nello spazio può essere descritto dalla sua posizione vettoriale e dall’orientamento del sistema di riferimento locale:

$P(t)={\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\\z(t)\end{bmatrix}},\quad \Theta (t)={\begin{bmatrix}\theta _{x}(t)\\\theta _{y}(t)\\\theta _{z}(t)\end{bmatrix}}$ Dove:

$(x(t),y(t),z(t))$: posizione lineare nel tempo; $(\theta _{x},\theta _{y},\theta _{z})$: rotazioni attorno agli assi cartesiani (angoli di Eulero). Questi 6 DoF sono sufficienti per descrivere il movimento della mandibola, purché i condili siano trattati come punti rigidi. Questa semplificazione funziona bene quando i movimenti condilari sono considerati indipendenti da forze tangenziali o interazioni con superfici articolari.

2. La sfera condilare e il vincolo della fossa glenoidea: 12 gradi di libertà Se invece si osserva il condilo come una sfera articolare in movimento (anziché un punto), il modello diventa più complesso. Ogni condilo interagisce con la fossa glenoidea, generando:

Forze tangenti tra la superficie ossea e la sfera condilare. Vincoli geometrici che limitano e condizionano il movimento. In questo caso, il condilo non è più un punto libero, ma una sfera vincolata da superfici articolari, con interazioni dinamiche che dipendono dalle geometrie e dai materiali. Questo scenario implica:

6 DoF per ciascun condilo: 3 traslazioni lineari (spostamenti del centro della sfera). 3 rotazioni angolari: Rotazioni primarie: movimenti della mandibola guidati dal condilo laterotrusivo. Rotazioni secondarie: compensazioni nel condilo mediotrusivo. Matematica del sistema con 12 gradi di libertà Posizione e orientamento del condilo

Ogni condilo è descritto da un vettore posizione $C_{i}$ ($i=1$ per il condilo laterotrusivo, $i=2$ per il mediotrusivo):

$C_{i}(t)={\begin{bmatrix}x_{i}(t)\\y_{i}(t)\\z_{i}(t)\end{bmatrix}}$ A cui si aggiunge una matrice di rotazione $R_{i}(t)$, che rappresenta l’orientamento della sfera condilare rispetto al sistema di riferimento globale:

$R_{i}(t)={\begin{bmatrix}\cos \theta _{i}&-\sin \theta _{i}&0\\\sin \theta _{i}&\cos \theta _{i}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$ Forze tangenti e vincoli geometrici

Le interazioni tra la sfera condilare e la fossa glenoidea sono modellate tramite vincoli geometrici. Ad esempio:

La superficie articolare può essere descritta da un’equazione $f(x,y,z)=0$, che rappresenta la forma della fossa glenoidea. Il movimento del condilo è vincolato alla tangente ${\vec {T}}$ della superficie articolare: ${\vec {T}}=\nabla f(x,y,z)\cdot {\vec {v}},\quad {\text{dove }}{\vec {v}}{\text{ è il vettore velocità del condilo.}}$ In presenza di vincoli, il sistema non è completamente libero: le equazioni di movimento includono forze di reazione articolare, che condizionano le traiettorie.

Conseguenze sui residui vettore-conica

Nel modello basato sui punti, i residui sono calcolati rispetto a una conica generata dai tracciati dei centri condilari. Considerando invece una sfera in movimento:

La tangente alla superficie articolare introduce forze aggiuntive, modificando i vettori posizione. Le traiettorie dei condili diventano ellissi deformate, con residui maggiori rispetto a un modello basato sui punti. Conclusioni Cinematica a 6 gradi di libertà: utile per rappresentare il movimento globale della mandibola considerando i condili come punti rigidi. Cinematica a 12 gradi di libertà: necessaria per includere le interazioni tra i condili (sfera) e le strutture articolari (fossa glenoidea), con rotazioni primarie (condilo lavorante) e secondarie (condilo bilanciante). Il passaggio dal modello a punti al modello a sfere comporta un aumento della complessità matematica, ma offre una rappresentazione più accurata della biomeccanica mandibolare.

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Applicazione delle Coniche ai Movimenti Mandibolari

Le coniche modellano i tracciati descritti dai punti dentali e condilari, integrando informazioni geometriche sulla velocità.

• • Descrizione della Conica**

La conica è rappresentata dall’equazione generale: $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$. I coefficienti $A,B,C,D,E,F$ descrivono la geometria della conica, che riflette il bilanciamento tra velocità lineari e angolari.

• • Coniche Calcolate**

- **Molare Laterotrusivo**:

Tipo: Ellisse ($\Delta <0$). Indica un movimento prevalentemente rotatorio, con tracciati regolari e compatti.

- **Incisivo**:

Tipo: Ellisse maggiore ($\Delta <0$). Il movimento combina traslazione e rotazione in modo bilanciato.

- **Molare Mediotrusivo**:

Tipo: Iperbole ($\Delta >0$). Il movimento è prevalentemente traslatorio, con deviazioni più marcate rispetto alla conica ideale.

Conclusioni sulle Velocità e Coniche

• • Ruolo delle Velocità nei Movimenti Mandibolari**

- La sincronizzazione tra i condili è garantita dalla combinazione di velocità lineari e angolari. - Il condilo laterotrusivo compensa la distanza ridotta con una maggiore velocità angolare. - Il condilo mediotrusivo utilizza una velocità lineare maggiore per coprire una distanza più lunga.

• • Implicazioni delle Coniche**

- Le coniche modellano i tracciati reali, evidenziando deviazioni dai movimenti ideali. - I residui tra coniche e tracciati possono indicare anomalie articolari o muscolari.

• • Applicazioni Cliniche**

La relazione tra velocità lineare e angolare consente di identificare movimenti compensatori nei condili. Le coniche forniscono strumenti diagnostici per ottimizzare trattamenti ortodontici e protesici, migliorando la distribuzione delle forze occlusali.