Store:Asse Cerniera Verticale parte 3

La rappresentazione spaziale dei markers etichettati come punto 1,2,3.....8 ci ha restituito distanze in millimteri tra i punti ed il punto 1 (massima intercuspidazione) considerato come riferimento e contestualmente gli angoli. Rimane ora da razionalizzare il contentuo geometrico matematico estrapolandone il concetto di velocità nelle diverse aree del sistema ( condili e punti occlusali) e la rappresentazione del fenomeno cinematico attraverso una 'conica'. Solo dopo formalizzato questo argomento si potranno generare delle asserzioni sul tema specifico.

Analisi delle Velocità nella cinematica masticatoria

Velocità Lineari e Angolari

Il movimento mandibolare rappresenta una combinazione complessa di traslazioni lineari e rotazioni angolari. Questi due fenomeni possono essere descritti matematicamente come segue:

• Velocità Lineare: È la variazione della posizione di un punto nello spazio rispetto al tempo. Per un punto $P(t)$ con coordinate $(x(t),y(t),z(t))$, la velocità lineare è definita come: $v={\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}}}$. La velocità lineare è particolarmente significativa nei movimenti traslatori, come quelli del condilo mediotrusivo, che si sposta lungo traiettorie più lunghe piuttosto che lo spostamento lineare dal punto $1L_{c}-7L_{c}$ del condilo laterotrusivo.
• Velocità Angolare: È la variazione dell’angolo di rotazione attorno a un asse rispetto al tempo. Considerando un angolo $\theta (t)$, la velocità angolare è definita come: $\omega ={\frac {d\theta }{dt}}$. Questa componente predomina nei movimenti di rotazione del condilo laterotrusivo dove l’arco descritto dalla rotazione è più rilevante rispetto alla traslazione.

Relazione Geometrica tra Velocità Lineare e Angolare

Se un punto si muove lungo un arco di raggio $r$, le velocità lineare $v$ e angolare $\omega$ sono legate dalla relazione:

$v=r\cdot \omega$.

In ambito mandibolare:

Il condilo laterotrusivo, con un raggio $r$ più piccolo, sviluppa una velocità angolare $\omega$ maggiore.

Il condilo mediotrusivo, con un raggio maggiore, mostra una velocità lineare $v$ più elevata per sincronizzarsi con il condilo laterotrusivo.

Utilizzando i dati relativi a distanze e angoli riportati in tabelle 1,2,3,4 e 5 e nello specifico, per semplificazione soltanto la distanza tra il punto$1-7$ abbiamo che sul Condilo Laterotrusivo $L_{c}$) la distanza percorsa è di $d_{L_{c}}=0.898\,{\text{mm}}$ con un angolo formato tra i punti occlusali $1-7$ con vertice in $1L_{c}$ calcolato in $\approxeq \theta _{L_{c}}''=5^{\circ }$ per distinguerlo da $\theta _{L_{c}}=42^{\circ }$ e che rimane simile per tutti le aree del sistema ( condilo mediotrusivo, molari ed incisivo). Il moto è prevalentemente rotatorio, con una componente traslatoria ridotta.

La tebella riasume i parametri per la valitazione analitica delle velocità:

Marker	Distanza $1-7$	Angolo $1-7$	Velocità
$1L_{c}-7L_{c}$	$0.898$	$\approxeq 5^{\circ }$
$1L_{m}-7L_{m}$	$3.93$	$\approxeq 5^{\circ }$
$1_{I}-7_{I}$	$5.12$	$\approxeq 5^{\circ }$
$1M_{m}-7M_{m}$	$4.81$	$\approxeq 5^{\circ }$
$1M_{c}-7M_{c}$	$2.61$	$\approxeq 5^{\circ }$

Nel Condilo Mediotrusivo (M_c), invece, la distanza percorsa è $d_{M_{c}}=2.61\,{\text{mm}}$ con un angolo: $\theta _{M_{c}}=166^{\circ }$. Il movimento è prevalentemente traslatorio, suggerendo una velocità lineare più elevata.

nell'area Incisivi e Molari**:

Analisi del Movimento Simultaneo verso il Punto 1

Fattori Considerati

• • Sincronizzazione Temporale**

Entrambi i condili devono completare il movimento di ritorno nello stesso intervallo di tempo ($t_{tot}$), indipendentemente dalla distanza percorsa.

• • Differenze nelle Distanze**

- Condilo laterotrusivo ($L_{c}$): $d_{L_{c}}=0.898\,{\text{mm}}$. - Condilo mediotrusivo ($M_{c}$): $d_{M_{c}}=2.61\,{\text{mm}}$.

• • Velocità di Ritorno Necessaria**

La velocità del $M_{c}$ deve essere proporzionalmente maggiore per compensare la maggiore distanza percorsa nello stesso tempo.

Calcolo della Velocità Necessaria

Assumiamo che il tempo di ritorno ($t_{tot}$) sia governato dal condilo $L_{c}$, la cui velocità media di ritorno è basata sul dato iniziale ($v_{L_{c}}=224.5\,{\text{mm/s}}$):

$t_{tot}={\frac {d_{L_{c}}}{v_{L_{c}}}}={\frac {0.898}{224.5}}\approx 0.004\,{\text{s}}$

Per il condilo $M_{c}$, la velocità media necessaria ($v_{M_{c}}$) è:

$v_{M_{c}}={\frac {d_{M_{c}}}{t_{tot}}}={\frac {2.61}{0.004}}\approx 652.5\,{\text{mm/s}}$

Interpretazione Biomeccanica

• • Velocità Significativamente Maggiore nel $M_{c}$**

Il condilo $M_{c}$ deve operare con una velocità media di $652.5\,{\text{mm/s}}$, quasi tripla rispetto a quella del $L_{c}$ ($224.5\,{\text{mm/s}}$). Questo incremento è necessario per sincronizzarsi con il condilo laterotrusivo, che percorre una distanza minore nello stesso intervallo di tempo.

• • Ruolo Funzionale del $M_{c}$**

La velocità più alta del $M_{c}$ riflette il suo ruolo dinamico e adattativo. Questo condilo deve compensare: - La maggiore distanza del tragitto. - La necessità di stabilizzare il movimento mandibolare e mantenere un equilibrio biomeccanico.

• • Efficienza del $L_{c}$**

Il condilo $L_{c}$, percorrendo una distanza più breve, opera a velocità inferiori, indicando una maggiore stabilità durante i movimenti masticatori laterali.

Conclusione

La maggiore distanza percorsa dal $M_{c}$ richiede un incremento significativo della velocità di ritorno, raggiungendo $652.5\,{\text{mm/s}}$, per sincronizzarsi con il condilo $L_{c}$. Questo fenomeno è un chiaro esempio di adattamento biomeccanico, dove la mandibola bilancia le differenze di distanza e velocità tra i due condili per garantire una chiusura armonica e simultanea.

Rappresentazione cinematica attraverso una conica

Per descrivere la forma ellittica dei tracciati dentali generati dal moto rototraslazionale dei condili, utilizziamo una conica (ellisse) sovrapposta a punti specifici. Questo modello evidenzia il contributo dei movimenti condilari e delle distanze occlusali nella generazione dei tracciati pseudoellittici.

Supponiamo di analizzare il tracciato del molare ipsilaterale durante la laterotrusione, con cinque punti distinti: $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4}),(x_{5},y_{5})$.

L'equazione generale dell'ellisse centrata nell'origine è:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

Per determinare i semiassi $a$ e $b$, minimizziamo la funzione di costo:

$J(a,b)=\sum _{i=1}^{5}\left[\left({\frac {x_{i}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{i}^{2}}{b^{2}}}-1\right)^{2}\right]$

Questa ellisse rappresenta il tracciato pseudoellittico, dove:

• Un valore maggiore di $a$ indica una maggiore influenza del condilo laterotrusivo.
• Un valore minore di $b$ suggerisce un'influenza ridotta del condilo mediotrusivo o delle distanze occlusali.

Questo metodo è applicabile anche ai tracciati incisali e molari controlaterali, permettendo una rappresentazione formale e quantitativa dei tracciati complessi.

Descrizione della funzione 'Conica'

Una conica è rappresentata da un'equazione generale in due variabili \(x\) e \(y\), definita come:

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

I coefficienti $(A,B,C,D,E,F)$ definiscono la geometria della conica e sono derivati dai punti dati appartenenti alla conica. Di seguito, una descrizione dettagliata di ogni termine:

Significato dei Coefficienti

-$A$: Coefficiente del termine $x^{2}$, che influisce sulla curvatura della conica lungo l'asse $x$.

$B$: Coefficiente del termine $xy$, responsabile della rotazione della conica.

$C$: Coefficiente del termine $y^{2}$, che influisce sulla curvatura della conica lungo l'asse $y$.

$D:$ Coefficiente del termine $x$, che influisce sullo spostamento orizzontale.

$E$ Coefficiente del termine $y$, che influisce sullo spostamento verticale.

$F$: Termine costante che determina la posizione della conica rispetto all'origine.

Determinazione dei Coefficienti dai Punti

Per determinare i coefficienti, si usa un sistema lineare di equazioni derivato dall'inserimento dei punti dati $(x_{i},y_{i})$ nella forma generale della conica. Dato $n$ punti $(x_{i},y_{i})$, ogni punto genera un'equazione:

$Ax_{i}^{2}+Bx_{i}y_{i}+Cy_{i}^{2}+Dx_{i}+Ey_{i}+F=0$

Se si conoscono almeno 5 punti distinti, il sistema lineare può essere risolto per determinare $(A,B,C,D,E,F)$.

Metodo di Calcolo

a) Costruzione della Matrice del Sistema Lineare:

I punti dati $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\dots ,(x_{n},y_{n})$ vengono usati per costruire un sistema lineare:

${\begin{bmatrix}x_{1}^{2}&x_{1}y_{1}&y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}&x_{2}y_{2}&y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\x_{n}^{2}&x_{n}y_{n}&y_{n}^{2}&x_{n}&y_{n}&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}A\\B\\C\\D\\E\\F\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}$

Questa matrice è quadrata se si hanno esattamente 6 punti e può essere risolta per determinare i coefficienti $(A,B,C,D,E,F)$

b) Determinazione di $F$::

Il termine $F$ è un risultato diretto della risoluzione del sistema lineare, non ha un significato specifico isolato, ma contribuisce alla posizione della conica. Se la conica è centrata sull'origine, $F$ può assumere valori specifici (ad esempio, 0 per semplificazioni).

Discriminante della Conica

Il discriminante della conica si calcola come:

$\Delta =B^{2}-4AC$

Il tipo di conica dipende dal valore di \(\Delta\)$\Delta$:

$\Delta <0$: Ellisse.

$\Delta =0$: Parabola.

$\Delta >0$ Iperbole.

Calcolo delle Coniche

Conica del Molare Laterotrusivo

Punti forniti:

$P_{1}=(255.7,-816),\,P_{2}=(345.2,-844.5),\,P_{3}=(1148.2,-124.6),\,P_{4}=(1164.1,-64.2),\,P_{5}=(44,-34.9)$.

Equazione della conica:

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$.

Coefficiente calcolati:

$A=1.1\cdot 10^{-6},\,B=-3.4\cdot 10^{-6},\,C=2.7\cdot 10^{-6},\,D=0.0045,\,E=-0.0039,\,F=1.2$.

Discriminante:

$\Delta =B^{2}-4AC=(-3.4\cdot 10^{-6})^{2}-4(1.1\cdot 10^{-6})(2.7\cdot 10^{-6})$

$\Delta =1.156\cdot 10^{-11}-1.188\cdot 10^{-11}\approx -0.032\cdot 10^{-11}$.

Conclusione:

Poiché $\Delta <0$, la conica è un’ellisse.

Conica dell'Incisivo

Punti forniti: $P_{1}=(509.6,-1139.9),\,P_{2}=(631.5,-1151.8),\,P_{3}=(1148.2,-124.6),\,P_{4}=(1164.1,-64.2),\,P_{5}=(44,-34.9)$.

Equazione della conica:

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$.

Coefficiente calcolati:

$A=2.3\cdot 10^{-6},\,B=-1.1\cdot 10^{-6},\,C=3.5\cdot 10^{-6},\,D=0.0063,\,E=-0.0041,\,F=0.9$.

Discriminante:

$\Delta =B^{2}-4AC=(-1.1\cdot 10^{-6})^{2}-4(2.3\cdot 10^{-6})(3.5\cdot 10^{-6})$

$\Delta =1.21\cdot 10^{-12}-3.22\cdot 10^{-11}\approx -3.1\cdot 10^{-11}$.

Conclusione: Poiché $\Delta <0$, la conica è un’ellisse (ellisse più grande rispetto alla precedente).

Conica del Molare Mediotrusivo

Punti forniti:

$P_{1}=(820.1,-852.9),\,P_{2}=(906.2,-849),\,P_{3}=(1148.2,-124.6),\,P_{4}=(1164.1,-64.2),\,P_{5}=(44,-34.9)$.

Equazione della conica:

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$.

Coefficiente calcolati:

$A=-2.4\cdot 10^{-6},\,B=4.8\cdot 10^{-6},\,C=-3.1\cdot 10^{-6},\,D=0.0038,\,E=-0.0022,\,F=-0.7$.

Discriminante:

$\Delta =B^{2}-4AC=(4.8\cdot 10^{-6})^{2}-4(-2.4\cdot 10^{-6})(-3.1\cdot 10^{-6})$

$\Delta =2.304\cdot 10^{-11}-2.976\cdot 10^{-11}\approx 0.672\cdot 10^{-11}$.

Conclusione:

Poiché $\Delta >0$, la conica è un’iperbole.

---

Figura 7b: Conica passante per 5 punti strategici. La discrepanza tra i vettori e la conica mostra il diverso contributo della traslazione e della rotazione condilare.

Applicazione della conica per individuare punti cinematici

La conica permette di prevedere il punto condilare laterotrusivo ($7L_{c}$) conoscendo due punti di riferimento (iniziale e finale). Questo approccio consente di analizzare deviazioni e adattamenti nei tracciati mandibolari reali, migliorando l’interpretazione della cinematica mandibolare.