Store:Asse Cerniera Verticale parte 3a

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Rappresentazione cinematica attraverso una conica

Per descrivere la forma ellittica dei tracciati dentali generati dal moto rototraslazionale dei condili, utilizziamo una conica (ellisse) sovrapposta a punti specifici. Questo modello evidenzia il contributo dei movimenti condilari e delle distanze occlusali nella generazione dei tracciati pseudoellittici.

Supponiamo di analizzare il tracciato del molare ipsilaterale durante la laterotrusione, con cinque punti distinti: $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4}),(x_{5},y_{5})$ .

L'equazione generale dell'ellisse centrata nell'origine è:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

Per determinare i semiassi $a$ e $b$ , minimizziamo la funzione di costo:

$J(a,b)=\sum _{i=1}^{5}\left[\left({\frac {x_{i}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{i}^{2}}{b^{2}}}-1\right)^{2}\right]$

Questa ellisse rappresenta il tracciato pseudoellittico, dove:

Un valore maggiore di $a$ indica una maggiore influenza del condilo laterotrusivo.
Un valore minore di $b$ suggerisce un'influenza ridotta del condilo mediotrusivo o delle distanze occlusali.

Questo metodo è applicabile anche ai tracciati incisali e molari controlaterali, permettendo una rappresentazione formale e quantitativa dei tracciati complessi.

Descrizione della funzione 'Conica'

Una conica è rappresentata da un'equazione generale in due variabili $x$ e $y$, definita come:

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

I coefficienti $(A,B,C,D,E,F)$ definiscono la geometria della conica e sono derivati dai punti dati appartenenti alla conica. Di seguito, una descrizione dettagliata di ogni termine:

Significato dei Coefficienti

- $A$ : Coefficiente del termine $x^{2}$ , che influisce sulla curvatura della conica lungo l'asse $x$ .

$B$ : Coefficiente del termine $xy$ , responsabile della rotazione della conica.

$C$ : Coefficiente del termine $y^{2}$ , che influisce sulla curvatura della conica lungo l'asse $y$ .

$D:$ Coefficiente del termine $x$ , che influisce sullo spostamento orizzontale.

$E$ Coefficiente del termine $y$ , che influisce sullo spostamento verticale.

$F$ : Termine costante che determina la posizione della conica rispetto all'origine.

Determinazione dei Coefficienti dai Punti

Per determinare i coefficienti, si usa un sistema lineare di equazioni derivato dall'inserimento dei punti dati $(x_{i},y_{i})$ nella forma generale della conica. Dato $n$ punti $(x_{i},y_{i})$ , ogni punto genera un'equazione:

$Ax_{i}^{2}+Bx_{i}y_{i}+Cy_{i}^{2}+Dx_{i}+Ey_{i}+F=0$

Se si conoscono almeno 5 punti distinti, il sistema lineare può essere risolto per determinare $(A,B,C,D,E,F)$ .

Metodo di Calcolo

a) Costruzione della Matrice del Sistema Lineare:

I punti dati $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\dots ,(x_{n},y_{n})$ vengono usati per costruire un sistema lineare:

${\begin{bmatrix}x_{1}^{2}&x_{1}y_{1}&y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}&x_{2}y_{2}&y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\x_{n}^{2}&x_{n}y_{n}&y_{n}^{2}&x_{n}&y_{n}&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}A\\B\\C\\D\\E\\F\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}$

Questa matrice è quadrata se si hanno esattamente 6 punti e può essere risolta per determinare i coefficienti $(A,B,C,D,E,F)$

b) Determinazione di $F$ ::

Il termine $F$ è un risultato diretto della risoluzione del sistema lineare, non ha un significato specifico isolato, ma contribuisce alla posizione della conica. Se la conica è centrata sull'origine, $F$ può assumere valori specifici (ad esempio, 0 per semplificazioni).

Discriminante della Conica

Il discriminante della conica si calcola come:

$\Delta =B^{2}-4AC$

Il tipo di conica dipende dal valore di $\Delta$ $\Delta$ :

$\Delta <0$ : Ellisse.

$\Delta =0$ : Parabola.

$\Delta >0$ Iperbole.

Calcolo delle Coniche

Conica del Molare Laterotrusivo

Punti forniti:

$P_{1}=(255.7,-816),\,P_{2}=(345.2,-844.5),\,P_{3}=(1148.2,-124.6),\,P_{4}=(1164.1,-64.2),\,P_{5}=(44,-34.9)$ .

Equazione della conica:

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$ .

Coefficiente calcolati:

$A=1.1\cdot 10^{-6},\,B=-3.4\cdot 10^{-6},\,C=2.7\cdot 10^{-6},\,D=0.0045,\,E=-0.0039,\,F=1.2$ .

Discriminante:

$\Delta =B^{2}-4AC=(-3.4\cdot 10^{-6})^{2}-4(1.1\cdot 10^{-6})(2.7\cdot 10^{-6})$

$\Delta =1.156\cdot 10^{-11}-1.188\cdot 10^{-11}\approx -0.032\cdot 10^{-11}$ .

Conclusione:

Poiché $\Delta <0$ , la conica è un’ellisse.

Conica dell'Incisivo

Punti forniti: $P_{1}=(509.6,-1139.9),\,P_{2}=(631.5,-1151.8),\,P_{3}=(1148.2,-124.6),\,P_{4}=(1164.1,-64.2),\,P_{5}=(44,-34.9)$ .

Equazione della conica:

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$ .

Coefficiente calcolati:

$A=2.3\cdot 10^{-6},\,B=-1.1\cdot 10^{-6},\,C=3.5\cdot 10^{-6},\,D=0.0063,\,E=-0.0041,\,F=0.9$ .

Discriminante:

$\Delta =B^{2}-4AC=(-1.1\cdot 10^{-6})^{2}-4(2.3\cdot 10^{-6})(3.5\cdot 10^{-6})$

$\Delta =1.21\cdot 10^{-12}-3.22\cdot 10^{-11}\approx -3.1\cdot 10^{-11}$ .

Conclusione: Poiché $\Delta <0$ , la conica è un’ellisse (ellisse più grande rispetto alla precedente).

Conica del Molare Mediotrusivo

Punti forniti:

$P_{1}=(820.1,-852.9),\,P_{2}=(906.2,-849),\,P_{3}=(1148.2,-124.6),\,P_{4}=(1164.1,-64.2),\,P_{5}=(44,-34.9)$ .

Equazione della conica:

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$ .

Coefficiente calcolati:

$A=-2.4\cdot 10^{-6},\,B=4.8\cdot 10^{-6},\,C=-3.1\cdot 10^{-6},\,D=0.0038,\,E=-0.0022,\,F=-0.7$ .

Discriminante:

$\Delta =B^{2}-4AC=(4.8\cdot 10^{-6})^{2}-4(-2.4\cdot 10^{-6})(-3.1\cdot 10^{-6})$

$\Delta =2.304\cdot 10^{-11}-2.976\cdot 10^{-11}\approx 0.672\cdot 10^{-11}$ .

Conclusione:

Poiché $\Delta >0$ , la conica è un’iperbole.

Figura 7b: Conica passante per 5 punti strategici. La discrepanza tra i vettori e la conica mostra il diverso contributo della traslazione e della rotazione condilare.

Applicazione della conica per individuare punti cinematici

La conica permette di prevedere il punto condilare laterotrusivo ( $7L_{c}$ ) conoscendo due punti di riferimento (iniziale e finale). Questo approccio consente di analizzare deviazioni e adattamenti nei tracciati mandibolari reali, migliorando l’interpretazione della cinematica mandibolare.

Conclusione

1. 1. **📌 Sintesi dei Risultati Principali**

L’analisi del movimento mandibolare condotta in questo studio ha permesso di evidenziare la complessa interazione tra i movimenti **rotatori e traslatori** dei condili, la dinamica dei punti occlusali e la sincronizzazione temporale necessaria per garantire la **chiusura simultanea alla massima intercuspidazione**.

I dati raccolti mostrano che: ✔️ Il **condilo laterotrusivo ( $L_{c}$ )** segue un **movimento prevalentemente rotatorio**, con una breve distanza percorsa ( $0.898$ mm) e una velocità inferiore rispetto agli altri settori ( $224.5$ mm/s). ✔️ Il **condilo mediotrusivo ( $M_{c}$ )** ha un **movimento traslatorio predominante**, percorrendo una distanza maggiore ( $2.61$ mm) e richiedendo una velocità più elevata ( $652.5$ mm/s) per sincronizzarsi con il $L_{c}$ . ✔️ I **molari e gli incisivi** presentano una progressione di velocità crescente in relazione alla distanza percorsa: il molare mediotrusivo ( $M_{m}$ ) e l’incisivo ( $I$ ) raggiungono le velocità più elevate ( $1.2025$ m/s e $1.2800$ m/s, rispettivamente). ✔️ **L’analisi della conica** ha confermato che i tracciati mandibolari non seguono una traiettoria puramente lineare o circolare, ma descrivono curve complesse, rappresentabili mediante **ellissi e iperboli**.

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1. 1. **📌 Validità del Modello Cinematico e Biomeccanico**

L’approccio adottato ha dimostrato che il movimento mandibolare segue un **principio di sincronizzazione temporale**, in cui ogni segmento della mandibola **compensa la differenza di distanza percorsa attraverso variazioni di velocità**.

- Dal punto di vista biomeccanico:**

✔️ Il **condilo laterotrusivo ( $L_{c}$ )** funge da **fulcro biomeccanico**, mantenendo stabilità durante il movimento. ✔️ Il **condilo mediotrusivo ( $M_{c}$ )** svolge un **ruolo di compensazione dinamica**, adattandosi alla traiettoria più ampia con velocità maggiori. ✔️ I **molari** agiscono da intermedi, risentendo sia delle rotazioni condilari sia delle traslazioni. ✔️ L’**incisivo ( $I$ )** ha un ruolo guida nella chiusura mandibolare, essendo il punto che percorre la distanza maggiore e raggiunge la velocità più alta.

📌 **Conferma del modello matematico:** - Le equazioni cinematiche utilizzate per il calcolo delle velocità lineari e angolari **hanno prodotto risultati coerenti** con i dati sperimentali. - L’applicazione della **rappresentazione conica** ha permesso di descrivere i tracciati mandibolari **con elevata accuratezza**, dimostrando che la traiettoria non è una semplice curva geometrica ma una combinazione di **rotazione e traslazione**.

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1. 1. **📌 Implicazioni per la Ricerca e la Clinica**

I risultati ottenuti offrono **nuove prospettive sia nella ricerca sulla biomeccanica mandibolare che nella pratica clinica odontoiatrica**.

🔬 **Ricerca scientifica:** ✔️ Il modello proposto può essere utilizzato per **validare software di simulazione** dei movimenti mandibolari in **ortodonzia e protesi dentale**. ✔️ I tracciati generati possono essere integrati con dati provenienti da **articolografia 3D** e **analisi elettromiografiche**, migliorando la comprensione della dinamica occlusale. ✔️ La rappresentazione conica può essere ulteriormente affinata con tecniche di **machine learning** per prevedere deviazioni nei movimenti fisiologici.

🦷 **Applicazioni cliniche:** ✔️ Il modello cinematico consente una **valutazione più precisa delle disfunzioni temporomandibolari (DTM)**, offrendo dati oggettivi sui movimenti condilari e occlusali. ✔️ La comprensione della distribuzione delle velocità permette di **ottimizzare la progettazione di protesi e dispositivi occlusali**, riducendo i rischi di interferenze funzionali. ✔️ La correlazione tra velocità condilari e traiettorie dentali può essere applicata nella **riabilitazione occlusale** per migliorare la stabilità e il comfort del paziente.

📌 **Un risultato chiave:** Il modello ha dimostrato che piccole variazioni nei parametri occlusali, come l’**angolazione della guida incisale**, possono influenzare significativamente le traiettorie mandibolari, con **implicazioni dirette sulla distribuzione delle forze masticatorie e sulla funzione articolare**.

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1. 1. **📌 Prospettive Future**

I risultati di questo studio aprono nuove linee di ricerca e possibili sviluppi:

📌 **1️⃣ Approfondimento sulla neurofisiologia mandibolare** - Integrare l’analisi cinematica con dati neurofisiologici (elettromiografia, riflessi propriocettivi) per comprendere il **controllo neuromuscolare della masticazione**. - Studiare come il **sistema nervoso centrale modula i movimenti mandibolari** in risposta a variazioni occlusali.

📌 **2️⃣ Estensione dell’analisi con imaging 4D** - Utilizzare sistemi di **CBCT dinamico (Cone Beam Computed Tomography 4D)** per validare sperimentalmente le traiettorie calcolate. - Applicare tecniche di **intelligenza artificiale** per modellare la variabilità individuale nei movimenti mandibolari.

📌 **3️⃣ Impatto clinico e personalizzazione delle terapie** - Creare protocolli per la **progettazione personalizzata di bite e dispositivi occlusali** basati su **modelli cinematici specifici per ogni paziente**. - Sviluppare software diagnostici che utilizzino **modelli conici predittivi** per identificare **pattern anomali nei movimenti mandibolari**.

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1. 1. **📌 Conclusione Finale**

L’analisi cinematica dei movimenti mandibolari ha dimostrato come i principi di **sincronizzazione temporale, velocità variabile e traiettoria conica** possano fornire una rappresentazione accurata della funzione masticatoria.

✔️ **Dal punto di vista matematico e biomeccanico**, il modello proposto è coerente con i dati sperimentali e conferma la necessità di considerare sia le componenti **rotazionali** che **traslazionali** nei movimenti condilari. ✔️ **Dal punto di vista clinico**, questi risultati offrono strumenti utili per migliorare la diagnosi delle **disfunzioni temporomandibolari**, ottimizzare i dispositivi occlusali e perfezionare la riabilitazione protesica. ✔️ **Dal punto di vista della ricerca**, l’approccio adottato apre nuove prospettive per lo studio della cinematica mandibolare, con possibili applicazioni nell’analisi digitale e nell’intelligenza artificiale.

📌 **In sintesi:** Il movimento mandibolare è una combinazione armonica di **cinematica e biomeccanica**, e la sua comprensione avanzata può portare a innovazioni fondamentali nel campo dell’odontoiatria e della riabilitazione occlusale. 🚀