Store:Asse Cerniera Verticale parte 3

Rappresentazione cinematica attraverso una conica

Per descrivere la forma ellittica dei tracciati dentali generati dal moto rototraslazionale dei condili, utilizziamo una conica (ellisse) sovrapposta a punti specifici. Questo modello evidenzia il contributo dei movimenti condilari e delle distanze occlusali nella generazione dei tracciati pseudoellittici.

Supponiamo di analizzare il tracciato del molare ipsilaterale durante la laterotrusione, con cinque punti distinti: $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4}),(x_{5},y_{5})$. L'equazione generale dell'ellisse centrata nell'origine è: ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

Per determinare i semiassi $a$ e $b$, minimizziamo la funzione di costo: $J(a,b)=\sum _{i=1}^{5}\left[\left({\frac {x_{i}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{i}^{2}}{b^{2}}}-1\right)^{2}\right]$

Questa ellisse rappresenta il tracciato pseudoellittico, dove:

• Un valore maggiore di $a$ indica una maggiore influenza del condilo laterotrusivo.
• Un valore minore di $b$ suggerisce un'influenza ridotta del condilo mediotrusivo o delle distanze occlusali.

Questo metodo è applicabile anche ai tracciati incisali e molari controlaterali, permettendo una rappresentazione formale e quantitativa dei tracciati complessi.

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La scelta della conica a 5 punti

Una conica è definita dall'equazione generale: $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$, dove la forma (ellisse, parabola, iperbole) dipende dal discriminante:

• $B^{2}-4AC<0$: Ellisse
• $B^{2}-4AC=0$: Parabola
• $B^{2}-4AC>0$: Iperbole

La scelta di 5 punti distinti garantisce:

• **Univocità**: Ogni conica è unica per 5 punti non allineati.
• **Adattabilità**: Si adatta meglio ai tracciati reali rispetto a un'ellisse ideale.
• **Flessibilità**: Modella traiettorie complesse, tipiche della cinematica mandibolare.

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Costruzione delle coniche specifiche

Le coniche sono state definite per diverse aree mandibolari:

Molare laterotrusivo $P_{1}=(68.3,-50.9),P_{2}=(58.3,-50.9),P_{3}=(345.2,-844.5),P_{4}=(255.7,-816),P_{5}=(509.6,-1139.9)$

Incisivo $P_{1}=(509.6,-1139.9),P_{2}=(631.5,-1151.8),P_{3}=(68.3,-50.9),P_{4}=(58.3,-50.9),P_{5}=(910.7,-856.2)$

Molare mediotrusivo $P_{1}=(910.7,-856.2),P_{2}=(818.8,-855.1),P_{3}=(68.3,-50.9),P_{4}=(58.3,-50.9),P_{5}=(345.2,-844.5)$

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Costruzione della conica unificata

Per una visione complessiva, si è costruita una conica unificata mediando i coefficienti delle coniche specifiche: ${\text{Coefficienti Unificati}}={\frac {{\text{Coeff}}_{\text{molare laterotrusivo}}+{\text{Coeff}}_{\text{incisale}}+{\text{Coeff}}_{\text{molare mediotrusivo}}}{3}}$

L'equazione risultante: $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

Figura 7b: Conica passante per 5 punti strategici. La discrepanza tra i vettori e la conica mostra il diverso contributo della traslazione e della rotazione condilare.

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Applicazione della conica per individuare punti cinematici

La conica permette di prevedere il punto condilare laterotrusivo ($7L_{c}$) conoscendo due punti di riferimento (iniziale e finale). Questo approccio consente di analizzare deviazioni e adattamenti nei tracciati mandibolari reali, migliorando l’interpretazione della cinematica mandibolare.