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4. Instruments quantiques du schéma des mesures indirectes

Le modèle de base pour la construction d'instruments quantiques est basé sur le schéma de mesures indirectes. Ce schéma formalise la situation suivante : les sorties de mesure sont générées via l'interaction d'un système $S$ avec un appareil de mesure $M$. Cet appareil consiste en un dispositif physique complexe interagissant avec $S$ et un pointeur qui affiche le résultat de la mesure, par exemple spin up ou spin down. Un observateur ne peut voir que les sorties du pointeur et il associe ces sorties aux valeurs de l'observable $A$ pour le système $S$. Ainsi, le schéma de mesure indirect implique :

1. les états des systèmes $S$ et des appareils $M$
2. l'opérateur $U$ représentant la dynamique d'interaction pour le système $S+M$
3. le mètre observable $M_{A}$ donnant les sorties du pointeur de l'appareil $M$.

Un modèle de mesure indirecte, introduit dans Ozawa (1984) comme un « processus de mesure (général) », est un quadruple

$(H,\sigma ,U,M_{A})$

composé d'un espace de Hilbert ${\mathcal {H}}$, d'un opérateur de densité $\sigma \in S({\mathcal {H}})$, d'un opérateur unitaire $U$ sur le produit tensoriel des espaces d'états de $S$ et $M,U:{\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}}$ et d'un opérateur Hermitien $M_{A}$ sur ${\mathcal {H}}$. Par ce modèle de mesure, l'espace de Hilbert ${\mathcal {H}}$ décrit les états de l'appareil $M$, l'opérateur unitaire $U$ décrit l'évolution temporelle du système composite $S+M$, l'opérateur de densité $\sigma$ décrit l'état initial de l'appareil $M$ et l'opérateur Hermitien $M_{A}$ décrit le mètre observable de l'appareil $M$. Ensuite, la distribution de probabilité de sortie $Pr\{A=x\|\sigma \}$ dans l'état du système $\sigma \in S({\mathcal {H}})$ est donnée par

$Pr\{A=x\|\rho \}=Tr[{\Bigl (}I\otimes E^{M}{^{_{A}}(x){\Bigr )}}U(\rho \otimes \sigma )U^{*}]$

$(18)$

où $E^{M_{A}}(x)$ est la projection spectrale de $M_{A}$ pour la valeur propre $x$. Le changement de l'état $\sigma$ du système $S$ causé par la mesure pour le résultat  $A=x$ est représenté à l'aide de la carte $\Im _{A}(x)$ dans l'espace des opérateurs de densité définis comme

${\mathcal {P}}_{A}(x)\rho =Tr_{\mathcal {H}}[{\Bigl (}I\otimes E^{M}{^{_{A}}(x){\Bigr )}}U(\rho \otimes \sigma )U^{*}]$

$(19)$

où $Tr_{\mathcal {H}}$ est la trace partielle sur ${\mathcal {H}}$. Ensuite, la carte $x\rightarrow \Im _{A}(x)$ s'avère être un instrument quantique. Ainsi, les propriétés statistiques de la mesure réalisée par tout modèle de mesure indirect $(H,\sigma ,U,M_{A})$ sont décrites par une mesure quantique. Remarquons qu'à l'inverse tout instrument quantique peut être représenté via le modèle de mesure indirecte (Ozawa, 1984). Ainsi, les instruments quantiques caractérisent mathématiquement les propriétés statistiques de toutes les mesures quantiques physiquement réalisables.