Psi

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Introduzione

Potrebbe sembrare eccessivo il considerare la logica di linguaggio medico in generale ed in particolare nelle discipline riabilitative masticatorie come uno step epistemologico fiorito e concluso ed, altrettanto eccessiva potrebbe risultare la necessità di un cambiamento filosofico scientifico nella diagnostica medica di virare in una logica di linguaggio quantistico. Ma non vi allarmata è più semplice di quanto si pensa solo che bisogna fare delle premesse obligate altrimenti si perde il senso del concetto. Perchè dovrei passare ad una logica di linguaggio quantistica? Domanda lecita ma altrettanto ddisarmante è la risposta. Tutti i casi clinici che abbiamo presentato nei capitoli precedenti ci hanno dimostrato l'ambiguità e la vagheza della logica di linguaggio verbale. Dei 10 casi presentati emergono i seguente dati:

1. Durata di diagnosi definitiva oltre 10 anni e certamente non dipendente dalla preparazione del professionista bensì da una forma mentis deterministica di causa effetto che lega la malattia al sintomo od al segno clinico.
2. Le statistiche descrittive in generali aiutano a ridurre l'errore ma uno dei più usati modelli statistici, il Teorema di Bayes, incorpora un limite nel risultato che nella statistica quantistica in cui si considera il parametro 'Interferenza' viene anullato.
3. Gli indici Diagnostici,per esempio, il dato della glicemia

Prima di entrare nel vivo dell'argomento 'Indice $|\Psi >$', e proprio per questo simbolo $|\Psi >$ che sta ad indicare lo 'Stato' di un sistema biologico che nel nostro caso specifico corrisponde al Sistema Nervoso Trigeminale' è opportuno introdurre alcuni concetti non del tutto comuni ai medici dentisti che è, appunto, la logica linguaggio quantistica. Premettiamo ancor prima di cadere nella trappola che non riguarda la quantistica delle particelle subatomiche per cui non entriamo in un mondo puramente quantistico ma sfrutteremo la logica probabilistica della statistica quantistica. Questo viraggio ad un nuovo modello di logica di linguaggio è essenziale se vogliamo accelerare e migliorare il processo diagnostico.

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Nozioni di base sui vettori

Iniziamo con il dire che se volgiamo convertire una logica di linguaggio medico dal classico al quantistico per prima cosa, senza ma e senza se, dobbiamo usare una logica di linguaggio vettoriale che ha le seguenti caratteristiche: un 'modulo o lunghezza', una 'direzione' ed 'angoli' rispetto ad alcuni di essi. (segui figura 1) Qualche nota matematica che non guasta.

Un vettore ha la seguente simbologia:

${\vec {A}}=A_{x}{\hat {i}}+A_{y}{\hat {j}}+A_{z}{\hat {k}}$

$(1)$

In questa espressione $A_{x}{\hat {i}}+A_{y}{\hat {j}}+A_{z}{\hat {k}}$ sono detti componenti del vettore ${\vec {A}}$ che corrispondono sostanzialmente alle coordinate del vettore$A_{x},A_{y},A_{z}$ e ${\hat {i}},{\hat {j}},{\hat {k}}$ sono, invece, indicatori direzionali chiamati 'vettori di base' del sistema di coordinate che si stanno usando per espandere il vettore ${\vec {A}}$ che, va ricordato, esiste indipendentemente dal particolare sistema di riferimento. Importante tenere presente che i vettori di base ${\hat {i}},{\hat {j}},{\hat {k}}$ e non il modulo o norma del vettore, sono chiamati 'vettori unitari' di lunghezza unitaria cioè $1$.

File:Vettori 1.jpg

Figura 1: Rappresentazione tridimensionale di un vettore

Il modulo, cioè la lunghezza o 'norma', di un vettore scritto con la seguente simbologia $|{\vec {A}}|$oppure $\|{\vec {A}}\|$può essere calcolato attraverso i suoi componenti cartesiani usando l'equazione

$|{\vec {A}}|={\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}}$

$(2)$

e che il negativo di un vettore ( come $-{\vec {A}}$) non è altro che un vettore con stessa lunghezza di ${\vec {A}}$ che punta nel verso opposto. Lo stesso accade per i vettori complessi che sono il valore aggiunto alla logica quantistica e che affronteremo a breve.

Facciamo un esempio numerico considerando i dati in tabella del modello NGF che corrispondono alla simmetria organica compreso i pesi per latenza ed ampiezza $A_{x}=0.93$, $A_{y}=2.09$ riferito alla simmetria funzionale ed$A_{z}=0.81$ riguardante l'eccitabilità del sistema nervoso trigeminale. Se decidessimo di rappresentarlo con un vettore ( figura 1), il modulo o norma di questo vettore sarà dunque:

$|{\vec {A}}|={A_{x}{\hat {i}}+A_{y}{\hat {j}}+A_{z}{\hat {z}}}\longrightarrow {\sqrt {A_{x}^{2}{\hat {i}}+A_{y}^{2}{\hat {j}}+A_{z}^{2}{\hat {z}}}}\longrightarrow {\sqrt {0.93^{2}{\hat {i}}+2.09^{2}{\hat {j}}+0.81^{2}{\hat {z}}}}=2.42$

$(3)$

Perchè introdurre nella logica di linguaggio medico i modelli vettoriali?

«non capisco la necessità del modello vettoriale»
(cerco di anticiparti le motivazioni)

Nella probabilità Classica (PC), gli stati dei sistemi casuali sono rappresentati da misure di probabilità e osservabili da variabili casuali; nella probabilità Quantistica (PQ), gli stati dei sistemi casuali sono rappresentati da vettori normalizzati in uno spazio di Hilbert complesso (stati puri) o generalmente da operatori di densità (stati misti) mentre la formula della probabilità totale (FTP) nella PQ è perturbato dal termine di interferenza (Khrennikov, 2010). Se il termine di interferenza è positivo, allora il calcolo PQ genererebbe una probabilità maggiore della sua controparte PC data dal classico FTP. In particolare, questa amplificazione di probabilità è alla base della supremazia del calcolo quantistico.

Per questo motivo dobbiamo almeno maneggiare alcune nozioni di matematica quantistica come la 'Notazione di Dirac'.

Notazione di Dirac

Nella notazione di Dirac , un vettore è rappresentato come un 'ket' indipendente dalla base, e i suoi componenti, in una determinata base, sono rappresentati da un vettore colonna. Il legame tra vettori e funzioni quantistiche i componenti vettoriali $A_{x}+A_{y}+A_{z}$hanno significato solo quando sono collegati ad un insieme di vettori di base ($A_{x}$ad ${\hat {i}}$; $A_{y}$a ${\hat {j}}$; $A_{z}$a ${\hat {k}}$). Uno dei modi di rappresentazione di un vettore tridimensionale è quello di scrivere i suoi componenti in una matrice ad una sola colonna, in questo modo:

$|{\vec {A}}|={\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}$

$(6)$

essendo, però, vettori anche i vettori di base cartesiani (${\hat {i}},{\hat {j}},{\hat {k}}$) possono essere scritti come vettori colonna utilizzando il loro stesso sistema di base cartesiano:

${\hat {i}}=1{\hat {i}}+0{\hat {j}}+0{\hat {k}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

$(7)$

${\hat {i}}=0{\hat {i}}+1{\hat {j}}+0{\hat {k}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$

$(8)$

${\hat {i}}=0{\hat {i}}+0{\hat {j}}+1{\hat {k}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

$(9)$

Tale sistema di base, in cui ogni vettore di base ha un solo componente non nullo $+1$ è chiamato 'base canonica'

Ogni 'ket' ha un 'bra' corrispondente; i suoi componenti in una determinata base sono i complessi coniugati dei componenti 'ket corrispondente e sono rappresentati da un vettore riga. I 'vettori ket' o semplicemente 'ket' scritti com una barra verticale a sinistra e una parentesi angolata a destra, come $|A\rangle$. Questa notazione è stata sviluppata dal fisico britannico Paul Dirac nel1939 mentre lavorava ad una versione generalizzata del prodotto interno scritto come $\langle A|B\rangle$ in cui 'generalizzato significa 'non limitato a vettori reali nello spazio fisico tridimensionale' e quindi il prodotto interno può essere usato con vettori astratti di dimensioni superiori con componenti complesse. Dirac si rese conto che la parentesi del prodotto interno $\langle A|B\rangle$ poteva essere concettualmente divisa in due parti, la metà di sinistra che chiamò 'bra' e la metà di destra che chiamo 'ket'. Nella notazione convenzionale, un prodotto interno tra i vettori $|{\vec {A}}|$e $|{\vec {B}}|$potrebbe essere scritto come ${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}$ ma nella notazione di Dirac il prodotto interno è scritto nel seguente modo:

Prodotto interno tra $|A\rangle$e$|B\rangle$$=$ $\langle A|$ moltiplicato per $|B\rangle$$=$$\langle A|B\rangle$

Per calcolare il prodotto interno $\langle A|B\rangle$iniziamo, come anticipato, a rappresentare il vettore ${\vec {A}}$ come un 'ket' con una matrice ad una sola colonna

$|A\rangle ={\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}$

$(10)$

per calcolare il 'bra' abbiamo bisogno di impiegare il 'complesso coniugato' che approfondiremo successivamente con degli esempio specifici, per adesso seguiamo soltanto il formalismo. Prendiamo, perciò, il complesso coniugato di ogni componente nel seguente modo:

$\langle A|=(A_{x}^{*},A_{y}^{*},A_{z}^{*})$

$(11)$

ed il prodotto interno $\langle A|B\rangle$ sarà quindi:

$\langle A|$ moltiplicato per $|B\rangle$$=$$\langle A|B\rangle =(A_{x}^{*},A_{y}^{*},A_{z}^{*}){\begin{pmatrix}B_{x}\\B_{y}\\B_{z}\end{pmatrix}}$

Seguendo le regole della moltiplicazione matriciale questo darà:

$\langle A|B\rangle =(A_{x}^{*},A_{y}^{*},A_{z}^{*}){\begin{pmatrix}B_{x}\\B_{y}\\B_{z}\end{pmatrix}}=A_{x}^{*}B_{x}+A_{y}^{*}B_{y}+A_{z}^{*}B_{z}$

$(12)$

La ragione di convertire i componenti di un ket in vettore colonna è quello di poter applicare le regole della moltiplicazione di matrici per formare prodotti scalei come in eq.12.

«ma che cosa è un complesso coniugato»
(......hai ragione cerco di spiegarlo brevemente)

Come anticipato, per eseguire modelli probabilistici quantistici dobbiamo considerare gli spazi di Hilbert complessi che implicitamente impongono vettori nel campo dei numeri complessi per eseguire il prodotto interno. Per capire perchè ciò ha un effetto sul prodotto interno, consideriamo la lunghezza di un vettore $z$ con componenti complessi:$z=x+iy$ dove $x$ è la parte reale e $y$ è la parte immaginaria ( $i={\sqrt {-1}}$). (figura 2)

File:Vettore 2.jpg

Figura 2: Rappresentazione di un vettore nel piano complesso. Notare che il vettore $z$ corrispondente al numero complesso $z=x+iy$ si trova nel quadrante I mentre il complesso comiugato nel IV quadrante solo perchè è cambiato di segno la parte immaginaria del numero complesso

Conoscere la parte reale e quella immaginaria ci permette di trovare il modulo di quel numero. Il modulo di un numero complesso è la distanza tra il punto che rappresenta il numero complesso e l'origine nel piano complesso e tale distanza si può trovare usando il teorema di Pitagora:

$|z|^{2}=x^{2}+y^{2}$

$(11)$

Ma c'è qualcosa che non va in questa espressione. Se ci cerca di quadrare il numero complesso $z$ moltiplicandolo con se stesso ( $|z|^{2}$)

avremmo:

$|z|^{2}=z\times z=(x+iy)\times (x+iy)=x^{2}+2ixy-y^{2}$

$(11)$

che risulta essere un numero complesso e perciò può essere negativo. Per tirare il modulo corretto di una quantità complessa, è necessario moltiplicare la quantità non per se stessa bensì per il suo complesso coniugato in cui si cambia il segno della parte immaginaria. e si rappresenta nel seguente modo:

$z^{*}=x-iy$

$(11)$

La moltiplicazione per il complesso coniugato assicura che il modulo di un numero complesso sia reale e positivo ( purché la parte reale e quella immaginaria non siano entrambe pari a zero). Per capire meglio il concetto descriviamo i passaggi:

$|z|^{2}=z\times z^{*}=(x+iy)\times (x-iy)=x^{2}-xiy+iyx+y^{2}\longrightarrow x^{2}+y^{2}$

Perciò abbiamo dimostrato che per ottenere un numero reale e positivo del modulo di un numero complesso dobbiamo impiegare il complesso coniugato.

«il complesso coniugato, perciò, è essenziale per dare significatività reale e positiva al modulo di un vettore complesso.»
(chiaro no?)

Prodotto interno

Per prima cosa dobbiamo sapere che i componenti di un vettore rappresentato attraverso vettori unitari (${\hat {i}},{\hat {j}},{\hat {k}}$)non sono altro che il prodotto scalare di ogni vettore unitario con il vettore, ma può essere espresso anche utilizzando il suffisso $A_{i}={\hat {\epsilon }}_{i}\cdot {\vec {A}}$ dove

$i=1,2,3$

e

${\hat {\epsilon }}_{1}={\hat {i}};{\hat {\epsilon }}_{2}={\hat {j}};{\hat {\epsilon }}_{3}={\hat {k}}$.

Ciò può essere generalizzato per trovare i componenti di un vettore astratto N-dimensionale rappresentato da un ket $|A\rangle$ in un sistema di base costituito da vettori ortogonali ${\vec {\epsilon }}_{1},{\vec {\epsilon }}_{2},{\vec {\epsilon }}_{3}....{\vec {\epsilon }}_{n}$ dividendo il risultato del prodotto interno per il quadrato della lunghezza del vettore di base.

File:Vettore 3.jpg

Per esempio il componente per conoscere i componenti del ket $|A\rangle$ i passaggi sono i seguenti:

$A_{x}={\frac {\langle \epsilon _{1}|A\rangle }{\langle \epsilon _{1}|\langle \epsilon _{1}\rangle }}={\frac {|{\vec {\epsilon _{1}}}|{\vec {A}}\cos \theta \rangle }{|{\vec {\epsilon _{1}}}||{\vec {\epsilon _{1}}}|}}\rightarrow {\frac {{\vec {\epsilon _{1}}}{\vec {A}}}{|{\vec {\epsilon _{1}}}|^{2}}}\rightarrow {\frac {\langle {\epsilon _{1}}|{A}\rangle }{\langle {\epsilon _{1}}|{\epsilon _{1}}\rangle }}$

$(11)$

In sostanza la notazione $|{\vec {\epsilon }}_{1}|$ corrispondono al numero di passi che possono entrare nella proiezione di ${\vec {A}}$ su $x$. Se si fosse scelto un vettore di base di lunghezza unitaria rispetto alle unità in cui si misura il vettore ${\vec {A}}$ allora il denominatore della Eq.11 sarebbe uguale ad uno.

Modulo dello Indice $|\psi >$:

$|\psi >=0.31|\xi _{1}>+0.75|\xi _{2}>+i|\xi _{3}>$

$(11)$

dove il ket $|\psi >$ rappresenta l'osservabile $\psi$ derivato dalla misurazione delle risposte elettrofisiologiche trigeminali descritte nel capitolo specifico e riferite alla vettore di base $|\xi _{1}>$ ( ascissa del sistema cartesiano), dalla percentuale di incidenza dei asintomatici rispetto al campione di 40 soggetti tra asintomatici e sintomatici e che corrisponde al vettore di base $|\xi _{2}>$ e $|\xi _{3}>$ che corrisponde alla individuazione del soggetto asintomatico $i$ oppure $-i$sintomatico.

Prendere come esempio un soggetto asintomatico con i dovuti valori di coefficienti e vettori di base si procede per il calcolo della norma o modulo vettoriale di $|\psi >=0.31|\xi _{1}>+0.75|\xi _{2}>+i|\xi _{3}>$

dove il $|\psi >$

è composto da un vettore di base $|\xi _{1}>=0.31$,

da $|\xi _{2}>=0.75$ che in questo caso corrisponde al 75% dei soggetti asintomatici presenti nel campione e da

$|\xi _{3}>=i$ che indica presenza di soggetto asintomatico ( $|\xi _{3}>=-i$ corrisponde al paziente sintomatico )

Si precede , perciò, prima comporre la matrice del ket $|\psi >$ che dobbiamo ricordare va scritto in colonna

$|\psi >=0.31|\xi _{1}>+0.75|\xi _{2}>+i|\xi _{3}>{\begin{pmatrix}0.31\\0.75i\\i\end{pmatrix}}$per poi eseguire il complesso coniugato del ket $|\psi >$ nel bra $<\psi |$ nel seguente modo

$<\psi |=0.31^{*},0.75i^{*},i^{*}\longrightarrow (0.31,-0.75i,-i)$da ricordare che i dati del bra $<\psi |$ vanno scritto in riga. $<\psi |=(0.31,-0.75i,i)$

A questo punto ritorna utile l'aver affrontato il passaggio del 'prodotto interno' per completare l'operazione del calcolo della norma del ket $|\psi >$. In questo caso il prodotto interno è perciò un prodotto tra il bra$<\psi |$ ed il ket $|\psi >$ nel seguente modo:

$<\psi |\psi >=(0.31,-0.75i,i){\begin{pmatrix}0.31\\0.75i\\-i\end{pmatrix}}=1,6586$

$|\psi |^{2}=<\psi |\psi >=1,6586$

$(11)$

e la radice quadrata del prodotto interno restituisce il modulo o norma del ket $|\psi >=0.31|\xi _{1}>+0.75|\xi _{2}>+i|\xi _{3}>$

$|\psi |={\sqrt {1,6586}}\longrightarrow 1.2878664527$

Con questa operazione abbiamo dato un forma algebrica al contenuto informativo del ket $|\psi >$che da ora distinguiamo per non confonderlo dagli altri con $|\psi _{1}>$e che ha come norma o modulo un valore di $1.2878664527$

Ma cosa succede se consideriamo un soggetto sintomatico con un ket $|\psi _{1}>$ come integrità dello stato di sistema trigeminale?

Vediamo eseguendo la stessa procedura con alcune variazioni il risultato del ket $|\psi _{2}>$ derivabile dal un soggetto asintomatico:

$|\psi _{2}>=0.31|\xi _{1}>+0.025|\xi _{2}>-i|\xi _{3}>$come si può notare è cambiato il vettore di stato $|\xi _{2}>$ che corrisponde alla percentuale di $0.025\%$dei soggetti sintomatici con integrità di sistema trigemine e $-i|\xi _{3}>$ riferito al paziente sintomatico:

$|\psi >=0.31|\xi _{1}>+0.025i|\xi _{2}>-i|\xi _{3}>{\begin{pmatrix}0.31\\0.025i\\-i\end{pmatrix}}$

$<\psi |=0.31^{*},0.025i^{*},-i^{*}\longrightarrow (0.31,-0.025i,i)$

$<\psi |\psi >=(0.31,-0.025i,i){\begin{pmatrix}0.31\\0.025i\\-i\end{pmatrix}}=1,096725$

$|\psi |^{2}=<\psi |\psi >=1,096725$

$|\psi |={\sqrt {1,096725}}\longrightarrow 1.04724638935$

Con la stessa procedura abbiamo dato un forma algebrica anche al contenuto informativo del ket $|\psi _{2}>$derivato ad un soggetto sintomatico ma con integrità del sistema nervoso trigeminale e la sua norma o modulo un valore di $1.04724638935$

Normalizzazione

Per finire questo processo semplice ma sostanzialmente significativo, come potremmo vedere in seguito per la realizzazione dell'Indice NeuroGnatologico Funzionale NGF completiamo la procedura normalizzando il ket $|\psi _{1}>$. Per fare ciò basta dividere il ket

$|\psi >=0.31|\xi _{1}>+0.75|\xi _{2}>+i|\xi _{3}>{\begin{pmatrix}0.31\\0.75i\\i\end{pmatrix}}$per il suo modulo (norma) che è $1.04724638935$ nel seguente modo:

$|\psi >={\frac {1}{1.04724638935}}(0.31|\xi _{1}>+0.75|\xi _{2}>+i|\xi _{3}>={\frac {1}{1.04724638935}}{\begin{pmatrix}0.31\\0.75i\\i\end{pmatrix}}$

con il conseguente dato in uscita

$|\psi _{2}>=0.31|\xi _{1}>+0.025|\xi _{2}>-i|\xi _{3}>$

Conclusioni preliminari

Abbiamo assistito nel capitolo dedicato alla formulazione matematica dell'indice che seguendo una logica di linguaggio classica ed impiegando il teorema di Bayes e/o della fomula della probabilità totale (FTP) perdevamo il paziente numero 40 perchè benché sintomatico non era stato possibile riconoscerne una patologia conclamata. A questo primo dato anamnestico si aggiunga che la misurazione dello stato di sistema trigeminale ha risposto con una integrità simile ad un soggetto sano ed asintomatico.

Ciò si può imputare in primis alla incertezza della misurazione come riportato dal articolo X che ha coniato il termine $Kbrain$e che quivale a xx. Questo significa che nonostante il modello elettrofisiologico sia molto dettagliato ed analizzi una modesta area del sistema trigeminale non si può escludere che una distanza del valore del Kbrain occulti la destrutturazione.

Abbiamo però la corrispondenza del sintomo ma soprattutto la verifica a posteriore dell'andamento terapeutico dei 40 soggetti del campione. la statistica però cambia modello, da una statistica predittiva a priori dove l'unico elemento conosciuto è il parametro di incidenza della malattia nella formula di Bayes ad una statistica predittiva a posteriore dove la percentuale dei casi diagnosticati e trattati a fine cura restituisce la reale percentuale dell'esperimentazione e contestualmente del modello probabilistico quantistico dello 'Indice $|\psi >$'

Ma l'indice così come viene presentato non offre una chiara e rapido riconoscimento diagnostico per cui va ulteriormente trattato.

Cominciamo con il dire che $|\psi >$ da cui si etraggono varie indicazioni ed informazioni sullo stato di sistema corrisponde ad un rapporto elettrofisiologico tra la simmetria organica e funzionale del sistema nervoso trigeminale che viene ulteriomente aggiusta moltiplicandolo per l'eccitabilità neuronale. In più viene rimodulato dal vettore di base $|\xi _{2}>$ derivato dalla reale probabilità di salute estratto dal controllo a posteriori del campione e dunque da un informazione non solo neurofisiologica ma anche reale. In questa operazione ci sono dunque valori che corrispondono a latenze, ampiezze, aree integrali e percentuali il tutto in una formazione vettoriale complessa.

Sostanzialmente, però, andrebbe normalizzato ad un valore ed assoluto che considera l'energia e la velocità. Il migliore riferimento è, appunto, il denominatore della costanza di struttura ( vedi Wikipedia) fine composta da come

sqrt((1)(1)+(0.75i)(-0.75i)+(i)(-i))^0.0001/55=0.01818 qrt((0.65)(0.65)+(0.75i)(-0.75i)+(i)(-i))^0.0001/55=0.01818 sqrt((0.31)(0.31)+(0.75i)(-0.75i)+(i)(-i))^0.0001/55=0.01818 sqrt((0.19)(0.19)+(0.75i)(-0.75i)+(i)(-i))^0.0001/55=0.01818 sqrt((0.31)(0.31)+(0.025i)(-0.025i)+(0i)(-0i))^0.0001/55=0.01817 sqrt((0.31)(0.31)+(0.025i)(-0.025i)+(i)(-i))^0.0001/55=0.018181 sqrt((0.011)(0.011)+(0.05i)(-0.05i)+(i)(-i))^0.0001/55=0.018181 sqrt((0.011)(0.011)+(0.05i)(-0.05i)+(0i)(-0i))^0.0001/55=0.01817 sqrt((0)(0)+(0.175i)(-0.175i)+(i)(-i))^0.0001/55=0.018181

Bibliography & references