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 Nella formulazione di von Neumann, le proprietà statistiche di qualsiasi misura di un osservabile  sono determinate in modo univoco dalla regola di Born (5) e dal postulato della proiezione (6), e sono rappresentate dalla mappa (9), uno strumento di tipo von Neumann. Tuttavia, la formulazione di von Neumann non riflette il fatto che lo stesso  osservabile <math>A</math> rappresentato dall'operatore hermitiano <math>\hat{A}</math> può essere misurato in molti modi.(8) Formalmente, tali schemi di misurazione sono rappresentati da strumenti quantistici.
-Consideriamo ora i più semplici strumenti quantistici di tipo non von Neumann, noti come ''strumenti atomici''. Iniziamo ricordando la nozione di POVM (Probability Operator Valued Measure); limitiamo le considerazioni ai POVM con un dominio discreto di definizione <math display="inline">X=\{x_1....,x_N.....\}</math>. POVM è una mappa <math display="inline">x\rightarrow \hat{D}(x)</math> tale che per ogni <math display="inline">x\in X</math>,<math>\hat{D}(x)</math>  è un operatore Hermitiano contrattivo positivo (chiamato ''effetto'') (ovvero <math display="inline">\hat{D}(x)^*=\hat{D}(x), 0\leq \langle\psi|\hat{D}(x)\psi\rangle\leq1</math> o qualsiasi <math display="inline">\psi\in\mathcal{H}</math>) e la condizione di normalizzazione <math display="inline">\sum_x \hat{D}(x)=I</math>
+Consideriamo ora i più semplici strumenti quantistici di tipo non von Neumann, noti come ''strumenti atomici''. Iniziamo ricordando la nozione di POVM (Probability Operator Valued Measure); limitiamo le considerazioni ai POVM con un dominio discreto di definizione <math display="inline">X=\{x_1....,x_N.....\}</math>. POVM è una mappa <math display="inline">x\rightarrow \hat{D}(x)</math> tale che per ogni <math display="inline">x\in X</math>,<math>\hat{D}(x)</math>  è un operatore Hermitiano contrattivo positivo (chiamato ''effetto'') (ovvero <math display="inline">\hat{D}(x)^*=\hat{D}(x), 0\leq \langle\psi|\hat{D}(x)\psi\rangle\leq1</math> o qualsiasi <math display="inline">\psi\in\mathcal{H}</math>) e la condizione di normalizzazione <math display="inline">\sum_x \hat{D}(x)=I</math>, dove <math display="inline">I</math> è l'operatore di unità. Si presume che per qualsiasi misurazione, la distribuzione di probabilità di output <math display="inline">Pr\{\text{x}=x||\rho\}</math> sia data da
-Now, we consider the simplest quantum instruments of non von Neumann type, known as ''atomic instruments.'' We start with recollection of the notion of POVM (probability operator valued measure); we restrict considerations to POVMs with a discrete domain of definition <math display="inline">X=\{x_1....,x_N.....\}</math>. POVM is a map <math display="inline">x\rightarrow \hat{D}(x)</math> such that for each <math display="inline">x\in X</math>,<math>\hat{D}(x)</math>  is a positive contractive Hermitian operator (called effect) (i.e.,<math display="inline">\hat{D}(x)^*=\hat{D}(x), 0\leq \langle\psi|\hat{D}(x)\psi\rangle\leq1</math> or any <math display="inline">\psi\in\mathcal{H}</math>), and the normalization condition
-<math display="inline">\sum_x \hat{D}(x)=I</math>, dove <math display="inline">I</math> è l'operatore di unità. Si presume che per qualsiasi misurazione, la distribuzione di probabilità di output <math display="inline">Pr\{\text{x}=x||\rho\}</math> sia data da
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