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| ===Condilo Mediotrusivo===
| | <P>'''Condilo Mediotrusivo'''</P> |
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| Questi punti rappresentano tre posizioni specifiche all'interno di un sistema articolare che stiamo studiando, con l'obiettivo di calcolare l'angolo tra il segmento che unisce i punti <math>P1_{M}</math> e <math>P7_{M}</math>, e il segmento che unisce i punti <math>P1_{M}</math> e <math>R_p</math>. Questo tipo di analisi è comune nella modellazione di movimenti articolari per comprendere come si muovono i segmenti di un sistema rispetto a un punto di riferimento, come nel caso di un sistema masticatorio. | | Questi punti rappresentano posizioni specifiche all'interno di un sistema articolare che stiamo studiando, con l'obiettivo di calcolare l'angolo tra il segmento che unisce i punti <math>1M_c</math> e <math>/M_c</math>, e il segmento che unisce i punti <math>1M_c</math> e <math>R_pc</math>. Questo tipo di analisi è comune nella modellazione di movimenti articolari per comprendere come si muovono i segmenti di un sistema rispetto a un punto di riferimento, come nel caso di un sistema masticatorio. |
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| ===Condilo Mediotrusivo===
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| Questi punti rappresentano tre posizioni specifiche all'interno di un sistema articolare che stiamo studiando, con l'obiettivo di calcolare l'angolo tra il segmento che unisce i punti <math>P1_{M}</math> e <math>P7_{M}</math>, e il segmento che unisce i punti <math>P1_{M}</math> e <math>R_p</math>. Questo tipo di analisi è comune nella modellazione di movimenti articolari per comprendere come si muovono i segmenti di un sistema rispetto a un punto di riferimento, come nel caso di un sistema masticatorio.
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| {| | | {| class="wikitable" |
| ! colspan="5" |Tabella 5 | | ! colspan="5" |Tabella 5 |
| |- | | |- |
| !Tracciato masticatorio | | !Tracciato masticatorio |
| !Markers!!Distanza (mm)!!Direzione in X (antero-posteriore)!!Direzione (Y-latero-mediale) | | !Markers |
| | !Distanza |
| | (mm) |
| | !Direzione |
| | <math>X</math> |
| | !Direzione |
| | <math>Y</math> |
| |- | | |- |
| | rowspan="8" |[[File:Figura condilo mediotrusivo mod..jpg|center|408x408px]]'''Figura 5:''' | | | rowspan="8" |[[File:Figura 5. finale.jpg|center|400x400px]]'''Figura 9:''' <small>Rappresentazione grafica dei markers rilevati dal 'Replicator'</small><small>nella masticazione sul lato destro del paziente nell'area inccisale.</small> |
| |2||5.09||Protrusiva||Medializzazione | | |2||2.13||Protrusiva||Medializzazione |
| |- | | |- |
| |3||14.81||Protrusiva||Medializzazione | | |3||6.19||Protrusiva||Medializzazione |
| |- | | |- |
| |4||25.58||Protrusiva||Medializzazione | | |4||10.70||Protrusiva||Medializzazione |
| |- | | |- |
| |5||26.54||Protrusiva||Inversione | | |5||11.09||Protrusiva||Inversione |
| |- | | |- |
| |6||14.57||Protrusiva||Lateralizzazione | | |6||6.09||Protrusiva||Lateralizzazione |
| |- | | |- |
| |7*||6.25||Protrusiva||Lateralizzazione | | |7*||2.61||Protrusiva||Lateralizzazione |
| |- | | |- |
| |8||1.19||Protrusiva||Lateralizzazione | | |8||0.50||Protrusiva||Lateralizzazione |
| |- | | |- |
| | colspan="4" | | | | colspan="4" | |
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| Per quanto riguarda le distanze e la direzione del punto 7 nel condilo mediotrusivo abbiamo una distanza dal punto di partenza di 6.25 mm ed un angolo calcolato sull'arcoseno <math>\theta = \arccos(-0.971) \approx 166^\circ</math>. Infine, sottraendo questo angolo da 180°, otteniamo un angolo di <math>13.57^\circ</math>, noto come '''Angolo di Bennett'''. Per approfondire la procedura matematica vedi {{Tooltip|2=L'angolo tra due segmenti può essere calcolato utilizzando la trigonometria vettoriale. Innanzitutto, dobbiamo calcolare i vettori che rappresentano i segmenti tra i punti: il vettore tra il punto <math>P1_{M}</math> e il punto <math>P7_{M}</math>: <math>\vec{AB} = P7_{M}-P1_{M}=(522.5, -87)-(530.6, -61.8)=(-8.1, -25.2)</math>. Il vettore tra il punto <math>P1_{M}</math> e il punto di riferimento <math>R_p</math>: <math>\vec{AC}=R_p-P1_{M}=(530.8, -9.3)-(530.6, -61.8)=(0.2, 52.5)</math>. Il prodotto scalare tra i vettori <math>\vec{AB}</math> e <math>\vec{AC}</math> è dato dalla formula: <math>\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB_x \cdot AC_x + AB_y \cdot AC_y</math>. Sostituendo i valori calcolati: <math>\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-8.1) \cdot (0.2) + (-25.2) \cdot (52.5) = -1.62 - 1323.0 = -1324.62</math>. Le norme dei vettori sono: <math>|\vec{AB}| = \sqrt{(-8.1)^2 + (-25.2)^2} = \sqrt{65.61 + 635.04} = \sqrt{700.65} \approx 26.47</math> e <math>|\vec{AC}| = \sqrt{(0.2)^2 + (52.5)^2} = \sqrt{0.04 + 2756.25} = \sqrt{2756.29} \approx 52.50</math>. Ora possiamo usare la formula per il coseno dell'angolo tra i due vettori: <math>\cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}</math>. Sostituendo i valori: <math>\cos(\theta) = \frac{-1324.62}{26.47 \cdot 52.50} = \frac{-1324.62}{1388.68} \approx -0.971</math>. L'angolo <math>\theta</math> è calcolato tramite la funzione arccoseno: <math>\theta = \arccos(-0.971) \approx 166.43^\circ</math>. Infine, sottraendo questo angolo da 180°, otteniamo un angolo di <math>13.57^\circ</math>, noto come '''Angolo di Bennett'''.}} | | |
| ==Conclusione sulla rototraslazione condilari== | | Per quanto riguarda le distanze e la direzione del punto 7 nel condilo mediotrusivo, abbiamo una distanza dal punto di partenza di <math>6.88</math>mm ed un angolo calcolato sull'arcoseno <math>\theta = \arccos(-0.971) \approx 166^\circ</math>. Infine, sottraendo questo angolo da 180°, otteniamo un angolo di <math>14^\circ</math>, noto come '''Angolo di Bennett'''. Per approfondire la procedura matematica, vedi {{Tooltip|2=Calcolo sintetico: vettore <math>\vec{AB} = (-15.9, -60.4)</math>, vettore<math>\vec{AC} = (0.2, 52.5)</math>, prodotto scalare <math>\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -3172.62</math>, norme <math>|\vec{AB}| = 62.93</math>, <math>|\vec{AC}| = 52.50</math>, <math>\cos(\theta) = \frac{-3172.62}{62.93 \cdot 52.50} \approx-0.971</math>, <math>\theta =\arccos(-0.971) \approx 166^\circ</math>.}} |
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| | ===Discussione sulla rototraslazione condilari=== |
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| Il moto rototraslazionale dei condili è fondamentale per comprendere la cinematica mandibolare e i tracciati descritti dai denti durante la masticazione. Se i condili ruotassero semplicemente attorno a un punto fisso, i tracciati dei molari e degli incisivi sarebbero archi di cerchio con un unico centro. Tuttavia, i movimenti reali dei condili sono molto più complessi. | | Il moto rototraslazionale dei condili è fondamentale per comprendere la cinematica mandibolare e i tracciati descritti dai denti durante la masticazione. Se i condili ruotassero semplicemente attorno a un punto fisso, i tracciati dei molari e degli incisivi sarebbero archi di cerchio con un unico centro. Tuttavia, i movimenti reali dei condili sono molto più complessi. |
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| Durante la laterotrusione, il condilo ipsilaterale (dello stesso lato) esegue un movimento che combina rotazione attorno all'asse verticale e traslazione laterale. Allo stesso tempo, il condilo controlaterale si muove principalmente in direzione mediale e anteriore, descrivendo un percorso noto come "tragitto orbitante". | | Durante la laterotrusione, il condilo ipsilaterale (dello stesso lato) esegue un movimento che combina rotazione attorno all'asse verticale e traslazione laterale. Allo stesso tempo, il condilo controlaterale si muove principalmente in direzione mediale e anteriore, descrivendo un percorso noto come "Tragitto orbitante". |
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| ===Descrizione matematica===
| | '''Descrizione matematica''' |
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| Matematicamente, possiamo descrivere il moto rototraslazionale del condilo laterotrusivo come una combinazione di una rotazione attorno all'asse verticale passante per il condilo stesso e una traslazione laterale lungo una traiettoria specifica. La posizione del molare ipsilaterale in un determinato istante può essere ottenuta applicando la rotazione attorno all'asse verticale e poi la traslazione corrispondente: | | Matematicamente, possiamo descrivere il moto rototraslazionale del condilo laterotrusivo come una combinazione di una rotazione attorno all'asse verticale passante per il condilo stesso e una traslazione laterale lungo una traiettoria specifica. La posizione del molare ipsilaterale in un determinato istante può essere ottenuta applicando la rotazione attorno all'asse verticale e poi la traslazione corrispondente: |
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| *<math>(x_m, y_m)</math> rappresenta la posizione finale del molare ipsilaterale. | | *<math>(x_m, y_m)</math> rappresenta la posizione finale del molare ipsilaterale. |
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| Man mano che il condilo ruota e si sposta lateralmente, le coordinate <math>(x_m, y_m)</math> del molare descrivono una traiettoria ellittica proiettata su un piano bidimensionale. | | Man mano che il condilo ruota e si sposta lateralmente, le coordinate <math>(x_m, y_m)</math> del molare descrivono una traiettoria ellittica proiettata su un piano bidimensionale. Questo fenomeno ellittico si verifica perché il centro di rotazione istantaneo del condilo laterotrusivo non è fisso, ma si sposta continuamente a causa della traslazione laterale. Pertanto, il tracciato descritto dal molare ipsilaterale non può essere un semplice arco di cerchio, ma assume una forma ellittica. |
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| ===Traiettoria ellittica===
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| Questo fenomeno si verifica perché il centro di rotazione istantaneo del condilo laterotrusivo non è fisso, ma si sposta continuamente a causa della traslazione laterale. Pertanto, il tracciato descritto dal molare ipsilaterale non può essere un semplice arco di cerchio, ma assume una forma ellittica. | |
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| Un comportamento simile si osserva anche per il condilo controlaterale (mediotrusivo) e per gli incisivi. Sebbene il movimento del condilo mediotrusivo sia principalmente una traslazione mediale e anteriore, può essere coinvolta anche una certa rotazione attorno all'asse verticale. Questa combinazione di traslazione e rotazione porta nuovamente a tracciati ellittici per il molare controlaterale e per gli incisivi. | | Un comportamento simile si osserva anche per il condilo controlaterale (mediotrusivo) e per gli incisivi. Sebbene il movimento del condilo mediotrusivo sia principalmente una traslazione mediale e anteriore, può essere coinvolta anche una certa '''rotazione attorno all'asse verticale'''. Questa combinazione di traslazione e rotazione porta nuovamente a tracciati ellittici per il molare controlaterale e per gli incisivi. |
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| ===Tracciati complessi===
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| È importante sottolineare che i tracciati ellittici osservati non sono ellissi perfette, ma curve più complesse, poiché i movimenti dei condili non sono semplici rotazioni e traslazioni costanti. Infatti, i condili seguono traiettorie più elaborate, con accelerazioni e decelerazioni, che si riflettono nella forma dei tracciati dei denti. | | È importante sottolineare che i tracciati ellittici osservati non sono ellissi perfette, ma curve più complesse, poiché i movimenti dei condili non sono semplici rotazioni e traslazioni costanti. Infatti, i condili seguono traiettorie più elaborate, con accelerazioni e decelerazioni, che si riflettono nella forma dei tracciati dei denti. |
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| Inoltre, i tracciati dei molari e degli incisivi non sono indipendenti, ma sono strettamente correlati ai movimenti dei condili corrispondenti. Pertanto, l'analisi dei tracciati dei denti può fornire informazioni preziose sulla cinematica mandibolare e sui movimenti articolari dei condili. | | Inoltre, i tracciati dei molari e degli incisivi non sono indipendenti, ma sono strettamente correlati ai movimenti dei condili corrispondenti. Pertanto, l'analisi dei tracciati dei denti può fornire informazioni preziose sulla cinematica mandibolare e sui movimenti articolari dei condili.[[File:Conica.jpg|300x300px|'''Figura 10a:''' <small>Rappresentazione generica di conica, segue descrizione dettagliata.</small>|thumb]]In conclusione, la combinazione di rotazione e traslazione dei condili durante i movimenti mandibolari impedisce ai tracciati dei molari e degli incisivi di essere semplici archi di cerchio. Invece, questi tracciati assumono forme ellittiche, poiché il centro di rotazione istantaneo dei condili si sposta continuamente a causa del moto rototraslazionale complesso. Per comprendere meglio la complessità delle traiettorie, è stato costruito un modello matematico basato su una conica passante per cinque punti strategicamente scelti, come illustrato nella figura 10a e approfondito nel prossimo paragrafo. |
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| === Conclusione===
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| In conclusione, la combinazione di rotazione e traslazione dei condili durante i movimenti mandibolari impedisce ai tracciati dei molari e degli incisivi di essere semplici archi di cerchio. Invece, questi tracciati assumono forme ellittiche, poiché il centro di rotazione istantaneo dei condili si sposta continuamente a causa del moto rototraslazionale complesso. Per comprendere meglio la complessità delle traiettorie, è stato costruito un modello matematico basato su una conica passante per cinque punti strategicamente scelti, come illustrato nella figura 1 e approfondito nel prossimo paragrafo. | |
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| == Rappresentazione cinematica attraverso una conica==
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| Per rappresentare in modo più dettagliato e formale la forma ellittica dei tracciati dei denti dovuti al moto rototraslazionale dei condili, possiamo sovrapporre una conica (ellisse) a più punti. Questo ci permetterà di evidenziare il contributo dei movimenti dei condili laterotrusivo e mediotrusivo, nonché delle distanze occlusali da essi, nella generazione di tali tracciati pseudoellittici.
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| Consideriamo ad esempio il tracciato del molare ipsilaterale durante la laterotrusione. Supponiamo di avere le coordinate di 5 punti distinti su questo tracciato: <math>(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3), (x_4, y_4), (x_5, y_5)</math>.
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| L'equazione generale di un'ellisse centrata nell'origine è data da:
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| <math>
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| \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
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| </math>
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| Dove <math>a</math> e <math>b</math> sono rispettivamente i semiassi maggiore e minore dell'ellisse.
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| Per determinare i valori di <math>a</math> e <math>b</math> che meglio approssimano i 5 punti dati, possiamo utilizzare il metodo dei minimi quadrati. L'obiettivo è minimizzare la somma dei quadrati delle distanze dei punti dall'ellisse.
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| Definiamo la funzione di costo:
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| <math>
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| J(a, b) = \sum_{i=1}^5 \left[ \left( \frac{x_i^2}{a^2} + \frac{y_i^2}{b^2} - 1 \right)^2 \right]
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| </math>
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| Minimizzando <math>J(a, b)</math> rispetto a <math>a</math> e <math>b</math>, otteniamo le stime ottimali dei semiassi <math>a</math> e <math>b</math> che approssimano al meglio i punti dati.
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| Questa ellisse ottimizzata rappresenterà il tracciato pseudoellittico del molare ipsilaterale, influenzato dai movimenti rototraslazionali dei condili laterotrusivo e mediotrusivo, nonché dalle distanze occlusali da essi.
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| I semiassi <math>a</math> e <math>b</math> dell'ellisse saranno determinati dai pesi relativi dei contributi dei condili e delle distanze occlusali. Ad esempio, un valore di <math>a</math> maggiore potrebbe indicare un'influenza più significativa del condilo laterotrusivo, mentre un valore di <math>b</math> più piccolo potrebbe suggerire un'influenza minore del condilo mediotrusivo o delle distanze occlusali.
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| Questo approccio può essere applicato anche ai tracciati degli incisivi e dei molari controlaterali, sovrapponendo ellissi ottimizzate ai rispettivi punti per ottenere una rappresentazione formale dei loro tracciati pseudoellittici.
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| In questo modo, l'analisi matematica dei tracciati dei denti durante la masticazione può essere arricchita con una rappresentazione visiva più dettagliata e quantitativa, permettendo di studiare in modo più approfondito il contributo dei diversi fattori cinematici, come i movimenti dei condili e le distanze occlusali, nella generazione di tali tracciati complessi.
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| == La scelta della conica a 5 punti ==
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| La scelta di una conica a 5 punti rappresenta un approccio matematico e geometrico efficace per modellare i tracciati articolari reali rispetto a un'ellisse ideale.
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| === Definizione della conica ===
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| Una conica è una curva definita in geometria analitica come il luogo dei punti che soddisfano un'equazione quadratica generale:
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| <math>Ax^{2} + Bxy + Cy^{2} + Dx + Ey + F = 0</math>
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| Dove:
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| * <math>A, B, C, D, E, F</math> sono coefficienti reali determinati dai punti dati.
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| La forma della conica (ellisse, parabola o iperbole) dipende dal discriminante:
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| * **Ellisse** se <math>B^{2} - 4AC < 0</math>
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| * **Parabola** se <math>B^{2} - 4AC = 0</math>
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| * **Iperbole** se <math>B^{2} - 4AC > 0</math>
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| === Perché 5 punti? ===
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| Una conica è univocamente determinata da 5 punti distinti e non allineati. Questo significa che se conosci 5 punti sperimentali, puoi ricostruire una sola conica che passa per quei punti.
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| * **Univocità**: La conica è unica per 5 punti non allineati.
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| * **Adattabilità**: Si adatta meglio ai dati sperimentali rispetto a un'ellisse ideale.
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| * **Flessibilità**: Modella tracciati complessi, asimmetrici o irregolari, tipici della cinematica mandibolare.
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| == Costruzione delle coniche specifiche ==
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| Abbiamo costruito coniche specifiche per diverse aree della traiettoria mandibolare.
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| === Conica del molare laterotrusivo ===
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| La conica è stata costruita utilizzando 5 punti chiave lungo il tracciato sperimentale del **molare laterotrusivo**:
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| * <math>P_{1} = (68.3, -50.9)</math>
| |
| * <math>P_{2} = (58.3, -50.9)</math>
| |
| * <math>P_{3} = (345.2, -844.5)</math>
| |
| * <math>P_{4} = (255.7, -816)</math>
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| * <math>P_{5} = (509.6, -1139.9)</math>
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| === Conica dell'incisivo ===
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| La conica è stata determinata utilizzando punti significativi lungo la traiettoria reale dell'**incisivo**:
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| * <math>P_{1} = (509.6, -1139.9)</math>
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| * <math>P_{2} = (631.5, -1151.8)</math>
| |
| * <math>P_{3} = (68.3, -50.9)</math>
| |
| * <math>P_{4} = (58.3, -50.9)</math>
| |
| * <math>P_{5} = (910.7, -856.2)</math>
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| === Conica del molare mediotrusivo ===
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| La conica è stata generata per il **molare mediotrusivo** usando i seguenti punti chiave:
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| * <math>P_{1} = (910.7, -856.2)</math>
| |
| * <math>P_{2} = (818.8, -855.1)</math>
| |
| * <math>P_{3} = (68.3, -50.9)</math>
| |
| * <math>P_{4} = (58.3, -50.9)</math>
| |
| * <math>P_{5} = (345.2, -844.5)</math>
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| === Conica del condilo mediotrusivo ===
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| Per modellare la traiettoria del **condilo mediotrusivo**, abbiamo utilizzato i punti relativi al movimento del condilo durante il tracciato:
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| * <math>P_{1} = (1164.1, -64.2)</math>
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| * <math>P_{2} = (1148.2, -124.6)</math>
| |
| * <math>P_{3} = (910.7, -856.2)</math>
| |
| * <math>P_{4} = (818.8, -855.1)</math>
| |
| * <math>P_{5} = (68.3, -50.9)</math>
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| == Costruzione della conica unificata ==
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| Per ottenere una visione complessiva, abbiamo calcolato una **conica unificata** a partire dalle coniche specifiche. Questa conica è stata costruita mediando i coefficienti delle coniche delle diverse aree:
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| <math>{\text{Coefficienti Conica Unificata}} = {\frac {{\text{Coeff}}_{\text{molare laterotrusivo}} + {\text{Coeff}}_{\text{incisale}} + {\text{Coeff}}_{\text{molare mediotrusivo}} + {\text{Coeff}}_{\text{condilo mediotrusivo}}}{4}}</math>
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| L'equazione risultante è:
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| <math>Ax^{2} + Bxy + Cy^{2} + Dx + Ey + F = 0</math>
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| (dove i coefficienti verranno calcolati sulla base dei punti definitivi).
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| == Applicazione della conica per individuare punti cinematici ==
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| Utilizzando la conica del molare laterotrusivo, è possibile **prevedere il punto C_L(7)** (condilo laterotrusivo) conoscendo due punti di riferimento (es. punto iniziale e finale sul tracciato molare). Questo approccio permette di:
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| * Determinare con precisione **dove cade il punto condilare laterotrusivo** sulla conica.
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| * Utilizzare la conica come strumento per analizzare deviazioni e adattamenti nei tracciati mandibolari reali.
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| == Riflessioni finali ==
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| La costruzione delle coniche a 5 punti ha permesso di modellare con precisione i tracciati:
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| 1. **Molare laterotrusivo**
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| 2. **Incisivo**
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| 3. **Molare mediotrusivo**
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| 4. **Condilo mediotrusivo**
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| L'uso della **conica unificata** ha offerto una visione globale, ma per una maggiore precisione, le **coniche specifiche** risultano più adatte per localizzare punti chiave come il punto <math>C_L(7)</math>.
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| == Prossimi passi ==
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| 1. Approfondire l'uso della conica per prevedere tracciati mancanti o deviazioni nei movimenti articolari.
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| 2. Validare le coniche con dati sperimentali aggiuntivi.
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| 3. Studiare il comportamento delle coniche in relazione ai movimenti condilari mediotrusivi e laterotrusivi.
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