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Inoltre, i tracciati dei molari e degli incisivi non sono indipendenti, ma sono strettamente correlati ai movimenti dei condili corrispondenti. Pertanto, l'analisi dei tracciati dei denti può fornire informazioni preziose sulla cinematica mandibolare e sui movimenti articolari dei condili. | Inoltre, i tracciati dei molari e degli incisivi non sono indipendenti, ma sono strettamente correlati ai movimenti dei condili corrispondenti. Pertanto, l'analisi dei tracciati dei denti può fornire informazioni preziose sulla cinematica mandibolare e sui movimenti articolari dei condili. | ||
'''Conclusione'''[[File:Conica.jpg|300x300px|Figura | '''Conclusione'''[[File:Conica.jpg|300x300px|'''Figura 7a:''' Rappresentazione generica di conica, segue descrizione dettagliata.|thumb]]In conclusione, la combinazione di rotazione e traslazione dei condili durante i movimenti mandibolari impedisce ai tracciati dei molari e degli incisivi di essere semplici archi di cerchio. Invece, questi tracciati assumono forme ellittiche, poiché il centro di rotazione istantaneo dei condili si sposta continuamente a causa del moto rototraslazionale complesso. Per comprendere meglio la complessità delle traiettorie, è stato costruito un modello matematico basato su una conica passante per cinque punti strategicamente scelti, come illustrato nella figura 7a e approfondito nel prossimo paragrafo. | ||
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In questo modo, l'analisi matematica dei tracciati dei denti durante la masticazione può essere arricchita con una rappresentazione visiva più dettagliata e quantitativa, permettendo di studiare in modo più approfondito il contributo dei diversi fattori cinematici, come i movimenti dei condili e le distanze occlusali, nella generazione di tali tracciati complessi. | In questo modo, l'analisi matematica dei tracciati dei denti durante la masticazione può essere arricchita con una rappresentazione visiva più dettagliata e quantitativa, permettendo di studiare in modo più approfondito il contributo dei diversi fattori cinematici, come i movimenti dei condili e le distanze occlusali, nella generazione di tali tracciati complessi. | ||
==== La scelta della conica a 5 punti ==== | ====La scelta della conica a 5 punti==== | ||
La scelta di una conica a 5 punti rappresenta un approccio matematico e geometrico efficace per modellare i tracciati articolari reali rispetto a un'ellisse ideale. | La scelta di una conica a 5 punti rappresenta un approccio matematico e geometrico efficace per modellare i tracciati articolari reali rispetto a un'ellisse ideale. | ||
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La forma della conica (ellisse, parabola o iperbole) dipende dal discriminante: | La forma della conica (ellisse, parabola o iperbole) dipende dal discriminante: | ||
* Ellisse se <math>B^{2} - 4AC < 0</math> | *Ellisse se <math>B^{2} - 4AC < 0</math> | ||
* Parabola se <math>B^{2} - 4AC = 0</math> | *Parabola se <math>B^{2} - 4AC = 0</math> | ||
* Iperbole se <math>B^{2} - 4AC > 0</math> | * Iperbole se <math>B^{2} - 4AC > 0</math> | ||
'''Perché 5 punti?''' | '''Perché 5 punti?''' | ||
Una conica è univocamente determinata da 5 punti distinti e non allineati. Questo significa che se conosci 5 punti sperimentali, puoi ricostruire una sola conica che passa per quei punti. | Una conica è univocamente determinata da 5 punti distinti e non allineati. Questo significa che se conosci 5 punti sperimentali, puoi ricostruire una sola conica che passa per quei punti. | ||
* Univocità: La conica è unica per 5 punti non allineati. | *Univocità: La conica è unica per 5 punti non allineati. | ||
* Adattabilità: Si adatta meglio ai dati sperimentali rispetto a un'ellisse ideale. | *Adattabilità: Si adatta meglio ai dati sperimentali rispetto a un'ellisse ideale. | ||
* Flessibilità: Modella tracciati complessi, asimmetrici o irregolari, tipici della cinematica mandibolare. | *Flessibilità: Modella tracciati complessi, asimmetrici o irregolari, tipici della cinematica mandibolare. | ||
=== Costruzione delle coniche specifiche === | ===Costruzione delle coniche specifiche === | ||
Abbiamo costruito coniche specifiche per diverse aree della traiettoria mandibolare e, comunque, a secondo di cosa si vuole analizzare l'ordine dei punti prescelti può essere cambiato: | Abbiamo costruito coniche specifiche per diverse aree della traiettoria mandibolare e, comunque, a secondo di cosa si vuole analizzare l'ordine dei punti prescelti può essere cambiato: | ||
| Line 136: | Line 136: | ||
La conica è stata costruita utilizzando 5 punti chiave lungo il tracciato sperimentale del molare laterotrusivo | La conica è stata costruita utilizzando 5 punti chiave lungo il tracciato sperimentale del molare laterotrusivo | ||
* <math>P_{1} = (68.3, -50.9)</math> | *<math>P_{1} = (68.3, -50.9)</math> | ||
* <math>P_{2} = (58.3, -50.9)</math> | * <math>P_{2} = (58.3, -50.9)</math> | ||
* <math>P_{3} = (345.2, -844.5)</math> | *<math>P_{3} = (345.2, -844.5)</math> | ||
* <math>P_{4} = (255.7, -816)</math> | *<math>P_{4} = (255.7, -816)</math> | ||
*<math>P_{5} = (509.6, -1139.9)</math> | *<math>P_{5} = (509.6, -1139.9)</math> | ||
'''Conica dell'incisivo''' | '''Conica dell'incisivo''' | ||
La conica è stata determinata utilizzando punti significativi lungo la traiettoria reale dello '<<<Incisivo': | La conica è stata determinata utilizzando punti significativi lungo la traiettoria reale dello '<<<Incisivo': | ||
* <math>P_{1} = (509.6, -1139.9)</math> | *<math>P_{1} = (509.6, -1139.9)</math> | ||
* <math>P_{2} = (631.5, -1151.8)</math> | *<math>P_{2} = (631.5, -1151.8)</math> | ||
* <math>P_{3} = (68.3, -50.9)</math> | *<math>P_{3} = (68.3, -50.9)</math> | ||
* <math>P_{4} = (58.3, -50.9)</math> | *<math>P_{4} = (58.3, -50.9)</math> | ||
* <math>P_{5} = (910.7, -856.2)</math> | *<math>P_{5} = (910.7, -856.2)</math> | ||
'''Conica del molare mediotrusivo''' | '''Conica del molare mediotrusivo''' | ||
La conica è stata generata per il 'molare mediotrusivo' usando i seguenti punti chiave: | La conica è stata generata per il 'molare mediotrusivo' usando i seguenti punti chiave: | ||
* <math>P_{1} = (910.7, -856.2)</math> | * | ||
<math>P_{1} = (910.7, -856.2)</math> | |||
* <math>P_{2} = (818.8, -855.1)</math> | * <math>P_{2} = (818.8, -855.1)</math> | ||
* <math>P_{3} = (68.3, -50.9)</math> | *<math>P_{3} = (68.3, -50.9)</math> | ||
* <math>P_{4} = (58.3, -50.9)</math> | *<math>P_{4} = (58.3, -50.9)</math> | ||
* <math>P_{5} = (345.2, -844.5)</math> | *<math>P_{5} = (345.2, -844.5)</math> | ||
=== Costruzione della conica unificata === | ===Costruzione della conica unificata=== | ||
Per ottenere una visione complessiva, | Per ottenere una visione complessiva (Fig.7b), si è calcolato una 'conica unificata' a partire dalle coniche specifiche. Questa conica è stata costruita mediando i coefficienti delle coniche delle diverse aree: | ||
<math>{\text{Coefficienti Conica Unificata}} = {\frac {{\text{Coeff}}_{\text{molare laterotrusivo}} + {\text{Coeff}}_{\text{incisale}} + {\text{Coeff}}_{\text{molare mediotrusivo}} + {\text{Coeff}}_{\text{condilo mediotrusivo}}}{4}}</math> | <math>{\text{Coefficienti Conica Unificata}} = {\frac {{\text{Coeff}}_{\text{molare laterotrusivo}} + {\text{Coeff}}_{\text{incisale}} + {\text{Coeff}}_{\text{molare mediotrusivo}} + {\text{Coeff}}_{\text{condilo mediotrusivo}}}{4}}</math> | ||
| Line 168: | Line 169: | ||
(dove i coefficienti verranno calcolati sulla base dei punti definitivi). | (dove i coefficienti verranno calcolati sulla base dei punti definitivi). | ||
[[File:Conica.jpg|600x600px|.|center]] | [[File:Conica.jpg|600x600px|'''<small>Figura 7b:</small>''' <small>Rappresentazione della conica passante per 5 punti strategicamente scelti come descritto nel testo. Notare la discrepanza tra i vettori ed il passaggio della conica che indica il diverso condizionamento della componente traslatoria da quella rotatoria. Effetto che si nota maggiormente sul condilo mediotrusivo.</small>|center|thumb]] | ||
| Line 175: | Line 176: | ||
Utilizzando la conica del molare laterotrusivo, è possibile 'prevedere il punto <math>7L_c </math> (condilo laterotrusivo) conoscendo due punti di riferimento (es. punto iniziale e finale sul tracciato molare). Questo approccio permette di determinare con precisione dove cade il punto condilare laterotrusivo sulla conica e utilizzare la conica come strumento per analizzare deviazioni e adattamenti nei tracciati mandibolari reali. | Utilizzando la conica del molare laterotrusivo, è possibile 'prevedere il punto <math>7L_c </math> (condilo laterotrusivo) conoscendo due punti di riferimento (es. punto iniziale e finale sul tracciato molare). Questo approccio permette di determinare con precisione dove cade il punto condilare laterotrusivo sulla conica e utilizzare la conica come strumento per analizzare deviazioni e adattamenti nei tracciati mandibolari reali. | ||
=== Riflessioni finali === | ===Riflessioni finali=== | ||
La costruzione delle coniche a 5 punti ha permesso di modellare con precisione i tracciati sul Molare laterotrusivo, Incisivo e Molare mediotrusivo. L'uso della 'Conica Unificata' ha offerto una visione globale, ma per una maggiore precisione, le 'coniche specifiche' risultano più adatte per localizzare punti chiave come il punto <math>7L_c </math>. | La costruzione delle coniche a 5 punti ha permesso di modellare con precisione i tracciati sul Molare laterotrusivo, Incisivo e Molare mediotrusivo. L'uso della 'Conica Unificata' ha offerto una visione globale, ma per una maggiore precisione, le 'coniche specifiche' risultano più adatte per localizzare punti chiave come il punto <math>7L_c </math>. | ||
==== Analisi geometrica e matematica del discostarsi dei vettori dalla conica ==== | ====Analisi geometrica e matematica del discostarsi dei vettori dalla conica==== | ||
'''Vettore molare laterotrusivo ipsilaterale''' | '''Vettore molare laterotrusivo ipsilaterale''' | ||
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Essendo <math>R_{L_m} \approx 0</math>, il vettore segue quasi perfettamente il passaggio della conica. | Essendo <math>R_{L_m} \approx 0</math>, il vettore segue quasi perfettamente il passaggio della conica. | ||
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con<math>|R_{M_m}| > |R_{L_m}|</math>dimostra un maggiore scostamento rispetto alla conica. | con<math>|R_{M_m}| > |R_{L_m}|</math>dimostra un maggiore scostamento rispetto alla conica. | ||
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Il vettore incisale si colloca in una posizione intermedia rispetto ai molari ipsilaterali e controlaterali. Questo perchè gli 'incisivi' sono influenzati dalla combinazione dei movimenti del condilo laterotrusivo e del condilo mediotrusivo. La traiettoria degli incisivi segue una curva regolare ma leggermente deviata rispetto alla conica. Matematicamente,il residuo per il vettore incisale è dato da<math>R_I = A(x_I)^2 + Bx_Iy_I + C(y_I)^2 + Dx_I + Ey_I + F</math>con<math>|R_{L_m}| < |R_I| < |R_{M_m}|</math>dimostrando che il vettore incisale si discosta più del molare ipsilaterale ma meno del molare controlaterale. | Il vettore incisale si colloca in una posizione intermedia rispetto ai molari ipsilaterali e controlaterali. Questo perchè gli 'incisivi' sono influenzati dalla combinazione dei movimenti del condilo laterotrusivo e del condilo mediotrusivo. La traiettoria degli incisivi segue una curva regolare ma leggermente deviata rispetto alla conica. Matematicamente,il residuo per il vettore incisale è dato da<math>R_I = A(x_I)^2 + Bx_Iy_I + C(y_I)^2 + Dx_I + Ey_I + F</math>con<math>|R_{L_m}| < |R_I| < |R_{M_m}|</math>dimostrando che il vettore incisale si discosta più del molare ipsilaterale ma meno del molare controlaterale. | ||
==Conclusioni== | |||
Il molare 'laterotrusivo ipsilaterale' mostra un comportamento quasi coincidente con il passaggio della conica. Questo fenomeno si spiega con la 'relazione diretta tra il condilo laterotrusivo e il molare ipsilaterale', poiché, la rotazione del condilo laterotrusivo attorno all'asse verticale produce una traiettoria ellittica regolare. La traslazione del condilo laterotrusivo lungo una traiettoria definita genera variazioni che rimangono vincolate alla conica. Matematicamente, considerando la conica com <math>Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0</math> | |||
e il vettore posizione del molare laterotrusivo come<math>\mathbf{r}_{L_m}(t) = (x_{L_m}(t), y_{L_m}(t))</math>il discostarsi del vettore è determinato dal residuo<math>R_{L_m} = A(x_{L_m})^2 + Bx_{L_m}y_{L_m} + C(y_{L_m})^2 + Dx_{L_m} + Ey_{L_m} + F</math>. Essendo <math>R_{L_m} \approx 0</math>, il vettore segue quasi perfettamente il passaggio della conica. | |||
2 | |||
Per il molare 'Controlaterale' (mediotrusivo) il vettore si discosta maggiormente dalla conica. Questo fenomeno si verifica perché, il condilo mediotrusivo compie un movimento prevalentemente traslatorio con una componente minima di rotazione. La traiettoria del molare mediotrusivo risente delle variazioni angolari complesse del condilo mediotrusivo, generando deviazioni dal piano della conica. Geometricamente, perciò, la traiettoria del molare mediotrusivo non segue perfettamente la conica a causa delle componenti traslazionali che deviano il tracciato rispetto alla curva ellittica ideale. Matematicamente, il residuo per il molare mediotrusivo è dato da<math>R_{M_m} = A(x_{M_m})^2 + Bx_{M_m}y_{M_m} + C(y_{M_m})^2 + Dx_{M_m} + Ey_{M_m} + F</math>con<math>|R_{M_m}| > |R_{L_m}|</math>. Questo dimostra un maggiore scostamento rispetto alla conica. | |||
Il vettore incisale, invece, si colloca in una posizione intermedia rispetto ai molari ipsilaterali e controlaterali. Questo perché gli 'incisivi' sono influenzati dalla combinazione dei movimenti del condilo laterotrusivo e del condilo mediotrusivo. La traiettoria degli incisivi segue una curva regolare ma leggermente deviata rispetto alla conica. Matematicamente, il residuo per il vettore incisale è dato da<math>R_I = A(x_I)^2 + Bx_Iy_I + C(y_I)^2 + Dx_I + Ey_I + F</math>con<math>|R_{L_m}| < |R_I| < |R_{M_m}|</math>dimostrando che il vettore incisale si discosta più del molare ipsilaterale, ma meno del molare controlaterale. | |||