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 N A Wickwire, C H Gibbs, A P Jacobson, H C Lundeen. [https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/6971588/ Chewing patterns in normal children]. Angle Orthod. 1981 Jan;51(1):48-60.</ref>(Figura 1)
-==Descrizione della Calibrazione: da Pixel a Millimetri==
+== Descrizione della Calibrazione: da Pixel a Millimetri ==
 La calibrazione di un'immagine per ottenere misurazioni accurate richiede l'attenzione a diversi fattori critici. Estrarre distanze da un'immagine può essere complesso, poiché la precisione dipende da:
-#''Fattori di distorsione'': Le immagini possono essere affette da distorsioni ottiche, che devono essere corrette calibrando la camera utilizzando, ad esempio, una scacchiera di riferimento.
+# ''Fattori di distorsione'': Le immagini possono essere affette da distorsioni ottiche, che devono essere corrette calibrando la camera utilizzando, ad esempio, una scacchiera di riferimento.
-#''Effetto prospettico'': La scala di riferimento varia con la distanza dal piano di acquisizione. Per oggetti posti a diverse profondità, è necessario applicare fattori di scala specifici, calcolati utilizzando un modello come quello della pin-hole camera.
+# ''Effetto prospettico'': La scala di riferimento varia con la distanza dal piano di acquisizione. Per oggetti posti a diverse profondità, è necessario applicare fattori di scala specifici, calcolati utilizzando un modello come quello della pin-hole camera.
-#''Distorsioni prospettiche'': Queste possono essere corrette utilizzando ottiche telecentriche, particolarmente utili per applicazioni che richiedono un'elevata accuratezza, come nelle misurazioni spaziali o bioingegneristiche.
+# ''Distorsioni prospettiche'': Queste possono essere corrette utilizzando ottiche telecentriche, particolarmente utili per applicazioni che richiedono un'elevata accuratezza, come nelle misurazioni spaziali o bioingegneristiche.
 Con questa premessa, il fattore di scala utilizzato nel nostro studio rappresenta un'approssimazione valida nel contesto specifico delle immagini 2D acquisite in condizioni controllate. Tuttavia, per applicazioni più rigorose, come quelle descritte sopra, è necessario considerare strumenti e metodi avanzati per la calibrazione.
+'''Calcolo della Distanza tra i Punti'''
+Le coordinate dei punti sono:
-'''Calcolo della Distanza tra i Punti'''
+<math>Q_2(525.3, -406)</math> e <math>R_2(764.4, -407.1)</math>
+La formula per la distanza euclidea è:
+<math>d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}</math>
-Le coordinate dei punti sono:
+Sostituendo i valori:
+<math>d = \sqrt{(764.4 - 525.3)^2 + (-407.1 - (-406))^2}</math>
+<math>d = \sqrt{(239.1)^2 + (-1.1)^2}</math>
+<math>d = \sqrt{57121.81 + 1.21} = \sqrt{57123.02} \approx 239.02 \, \text{pixel}</math>
-<math>Q_2(525.3, -406) </math>  e <math>R_2(764.4, -407.1)</math>
+'''Conversione della Scala in mm'''
-La formula per la distanza euclidea è:
+Dato che il segmento di <math>239.02 \, \text{pixel}</math> equivale a <math>1 \, \text{cm} = 10 \, \text{mm}</math>, calcoliamo la conversione in mm/pixel:
-<math>d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}</math>
+<math>\text{Scala in mm/pixel} = \frac{\text{Lunghezza reale (in mm)}}{\text{Distanza in pixel}} = \frac{10}{239.02} \approx 0.04184 \, \text{mm/pixel}</math>
-Sostituendo i valori:
+Quindi, ogni pixel nella figura corrisponde a circa:
+<math>0.04184 \, \text{mm/pixel}</math>.
-<math>d = \sqrt{(764.4 - 525.3)^2 + (-407.1 - (-406))^2} </math>
+'''Esempio di Applicazione: Conversione Distanza in mm'''
-<math>d = \sqrt{(239.1)^2 + (-1.1)^2} </math>
+Supponiamo di voler calcolare una distanza in mm. Ad esempio, se la distanza in pixel fosse <math>d = 100 \, \text{pixel}</math>:
-<math>d = \sqrt{57121.81 + 1.21} = \sqrt{57123.02} \approx 239.02 \, \text{pixel}</math>
+<math>d_\text{mm} = 100 \cdot 0.04184 \approx 4.184 \, \text{mm} </math>
+'''Risultato Finale'''
-'''Conversione della Scala in mm'''
+La scala è:
+* <math>239.02 \, \text{pixel/cm}</math>
+* <math>0.04184 \, \text{mm/pixel}</math>
+Questi valori possono essere usati per convertire qualsiasi distanza misurata in pixel nella figura in unità metriche come millimetri o centimetri.
-Dato che sappiamo che il segmento di <math>239.02 \, \text{pixel}</math> equivale a <math>1 \, \text{cm} = 10 \, \text{mm}</math>, calcoliamo la conversione in mm/pixel:
+== Cinematica dei Condili ==
-<math>\text{Scala in mm/pixel} = \frac{\text{Lunghezza reale (in mm)}}{\text{Distanza in pixel}} = \frac{10}{239.02} \approx 0.04184 \, \text{mm/pixel}</math>
+'''Traslazioni e Rotazioni dei Condili'''
-Quindi, ogni pixel nella figura corrisponde a circa:
+Nel contesto del movimento mandibolare, i condili eseguono sia movimenti traslatori (spostamenti lineari) sia rotatori (movimenti angolari attorno a specifici assi). Questo doppio movimento, noto come '''rototraslazione''', è fondamentale per comprendere la cinematica mandibolare.
-<math>0.04184 \, \text{mm/pixel}  </math>.
+Per descrivere la posizione e il movimento di ciascun condilo nel tempo, si utilizzano vettori di posizione, che variano in modulo e direzione a seguito del moto elicoidale. Il moto è descritto da una combinazione di spostamenti lineari e variazioni angolari che influenzano la posizione dei vettori nello spazio tridimensionale.
+'''Vettori di Posizione del Condilo Laterotrusivo (Lavorante)'''
+Il condilo laterotrusivo si trova sul lato in cui avviene la laterotrusione (spostamento laterale della mandibola). Durante il movimento, la sua posizione è descritta dal seguente vettore:
-'''Esempio di Applicazione: Conversione Distanza in mm'''
+<math>
+P_l(t) = [X_l(t), Y_l(t), Z_l(t), \theta_l(t), \phi_l(t), \psi_l(t)]
+</math>
+Dove:
+* <math>X_l(t), Y_l(t), Z_l(t)</math>: Spostamenti lineari lungo gli assi cartesiani:
+** <math>X_l(t)</math>: Spostamento antero-posteriore.
+** <math>Y_l(t)</math>: Spostamento latero-mediale.
+** <math>Z_l(t)</math>: Spostamento verticale.
+* <math>\theta_l(t)</math>, <math>\phi_l(t)</math>, <math>\psi_l(t)</math>: Rotazioni angolari attorno agli assi <math>X</math>, <math>Y</math> e <math>Z</math>, descritte con gli angoli di Eulero.
-Supponiamo di voler calcolare una distanza in mm. Ad esempio, se la distanza in pixel fosse <math>d = 100 \, \text{pixel}</math>:
+Adottiamo la convenzione <math>X,Y,Z</math>, che segue l’ordine:
+* <math>\theta_l(t)</math>: Rotazione attorno a <math>X</math> (torsione laterale).
+* <math>\phi_l(t)</math>: Rotazione attorno a <math>Y</math> (apertura/chiusura).
+* <math>\psi_l(t)</math>: Rotazione attorno a <math>Z</math> (rotazione laterale/mediale).
-<math>d_\text{mm} = 100 \cdot 0.04184 \approx 4.184 \text{mm}  </math>
+Questa sequenza consente una descrizione univoca dell’orientamento del condilo nello spazio.
+<gallery mode="slideshow">
+File:Sirignathograph rotazione asse Y.jpg|'''Figura 2:''' Tracciati cinematici masticatori sul piano sagittale.
+File:Sirognathograph frontal angle.jpg|'''Figura 3:''' Tracciati cinematici masticatori sul piano coronale.
+File:Final HA 10.jpg|'''Figura 4:''' Tracciati cinematici masticatori sul piano assiale.
+</gallery>
+'''Traslazione del Condilo Mediotrusivo'''
-'''Risultato Finale'''
+Il condilo mediotrusivo, sul lato opposto al movimento laterale, si muove principalmente con una traslazione anteriore e mediale nello spazio tridimensionale. La traslazione è descritta dal seguente vettore:
-La scala è:
+<math>
+T_M(t) = \begin{pmatrix}
+X_M(t) \\
+Y_M(t) \\
+Z_M(t)
+\end{pmatrix}
+</math>
-*<math>239.02 \, \text{pixel/cm}</math>
+Dove:
-*<math>0.04184  \text{mm/pixel}  </math>
+* <math>(X_M(t), Y_M(t), Z_M(t))</math>: Coordinate temporali del condilo mediotrusivo nello spazio cartesiano.
-Questi valori possono essere usati per convertire qualsiasi distanza misurata in pixel nella figura in unità metriche come millimetri o centimetri.
+<blockquote>Questo tipo di traslazione influenza significativamente i tracciati occlusali, generando variazioni di orientamento durante il ciclo masticatorio.</blockquote>
+== Descrizione delle misure lineari ed angolari ==
-==Cinematica dei Condili ==
+=== Rappresentazione scalare dei tracciati condilari ===
-'''Traslazioni e Rotazioni dei Condili'''
-Nel contesto del movimento mandibolare, i condili non eseguono solo movimenti traslatori (spostamenti lineari nello spazio), ma anche rotatori (movimenti angolari attorno a specifici assi). Questo doppio movimento, noto come '''rototraslazione''', è essenziale per comprendere la complessità della cinematica mandibolare.
+'''Descrizione delle distanze e delle direzioni'''
-Per descrivere in modo accurato la posizione e il movimento di ciascun condilo nel tempo, possiamo utilizzare un insieme di vettori di posizione. Questi vettori, che rappresentano i punti nel sistema di riferimento cartesiano, variano in modulo e direzione a seguito del moto elicoidale. Il moto può essere descritto combinando spostamenti lineari e variazioni angolari, che influenzano la posizione dei vettori stessi all'interno dello spazio tridimensionale.
+Di seguito sono riportate le distanze calcolate tra i punti rispetto al punto di partenza (punto 1, massima intercuspidazione), considerato punto di riferimento, e le relative direzioni nello spazio, utilizzando le coordinate corrette per gli assi <math>X</math> (antero-posteriore) e <math>Y</math> (latero-mediale).
-'''Vettori di Posizione del Condilo Laterotrusivo (Lavorante)'''
+'''Calcolo delle distanze tra i punti'''
-Il condilo laterotrusivo si trova sul lato in cui avviene la laterotrusione, ovvero lo spostamento laterale della mandibola. Durante il movimento, la posizione del condilo può essere descritta mediante un vettore di posizione, definito come il segmento orientato che congiunge il condilo a un’origine del sistema di riferimento cartesiano scelto.Il vettore di posizione varia nel tempo sia in modulo che in direzione, a causa della natura complessa del moto elicoidale. Questo permette di rappresentare il movimento del condilo come una combinazione di spostamenti lineari e cambiamenti di orientamento nel sistema tridimensionale.
+Le coordinate dei punti estrapolate da Geogebra dopo calibrazione, per il condilo laterotrusivo, sono:
+* 1L: <math>(58.3, -50.9)</math>
+* 2L: <math>(59, -92.3)</math>
+* 3L: <math>(46.3, -169.5)</math>
+* 4L: <math>(44.1, -207.7)</math>
+* 5L: <math>(38.4, -136.2)</math>
+* 6L: <math>(36.4, -48.2)</math>
+* 7L: <math>(44, -34.9)</math>
+* 8L: <math>(52.9, -48)</math>
-Il '''vettore di posizione''' del condilo laterotrusivo nel tempo è descritto da:
-<math>
+'''Fattore di scala:''' <math>0.04184 \, \text{mm/pixel}</math>
-P_l(t) = [X_l(t), Y_l(t), Z_l(t), \theta_l(t), \phi_l(t), \psi_l(t)]
-</math>
-Dove:
+Distanze rispetto a <math>1L_c</math>:
-*<math>X_l(t), Y_l(t), Z_l(t)</math>: Rappresentano gli '''spostamenti lineari''' del condilo laterotrusivo lungo i tre assi dello spazio cartesiano:
+'''<math>2L_c</math>:'''
-**<math>X_l(t)</math>: Spostamento lungo l'asse antero-posteriore (avanti e indietro).
-**<math>Y_l(t)</math>: Spostamento lungo l'asse latero-mediale (lateralizzazione destra e sinistra).
-**<math>Z_l(t)</math>: Spostamento lungo l'asse verticale (alto e basso)
-**<math>\theta_l(t)</math>, <math>\phi_l(t)</math>, <math>\psi_l(t)</math>: Sono le rotazioni angolari del condilo laterotrusivo attorno ai tre assi del sistema di riferimento cartesiano scelto. Queste rotazioni rappresentano il cambiamento di orientamento del condilo nello spazio, descritto utilizzando la convenzione degli angoli di Eulero. È fondamentale notare che le rotazioni non sono commutative, e quindi l'ordine in cui avvengono le rotazioni deve essere specificato per garantire una descrizione univoca.
-Nel nostro caso, adottiamo la convenzione <math>X,Y,Z</math> che descrive le rotazioni nel seguente ordine:
+<math>d = \sqrt{(59 - 58.3)^2 + (-92.3 - (-50.9))^2} = \sqrt{(0.7)^2 + (-41.4)^2} = \sqrt{0.49 + 1714.36} \approx 41.41 \, \text{pixel}</math>  <math>d = 41.41 \cdot 0.04184 \approx 1.734 \, \text{mm}</math>
-*<math>\theta_l(t)</math>: Rotazione attorno all'asse <math>x</math> (causa una torsione laterale della mandibola).
+'''<math>3L_c</math>:'''
-* <math>\phi_l(t)</math>: Rotazione attorno all'asse <math>y</math> (controlla l'apertura e la chiusura della mandibola).
+<math>d = \sqrt{(46.3 - 58.3)^2 + (-169.5 - (-50.9))^2} = \sqrt{(-12)^2 + (-118.6)^2} = \sqrt{144 + 14063.96} \approx 119.17 \, \text{pixel}</math>
+<math>d = 119.17 \cdot 0.04184 \approx 4.99 \, \text{mm}</math>
-*<math>\psi_l(t)</math>: Rotazione attorno all'asse <math>z</math> (controlla la rotazione laterale/mediale della mandibola).
+'''<math>4L_c</math>:'''
-Questa sequenza di rotazioni consente di determinare in modo univoco l'orientamento del condilo nello spazio, evitando ambiguità derivanti dalla non-commutatività delle rotazioni angolari.<gallery mode="slideshow">
+<math>d = \sqrt{(44.1 - 58.3)^2 + (-207.7 - (-50.9))^2} = \sqrt{(-14.2)^2 + (-156.8)^2} = \sqrt{201.64 + 24589.44} \approx 157.43 \, \text{pixel}</math>
-File:Sirignathograph rotazione asse Y.jpg|'''Figura 2:''' Rappresentazione dei tracciati cinematici masticatori sul piano sagittale
+<math>d = 157.43 \cdot 0.04184 \approx 6.59 \, \text{mm}</math>
-File:Sirognathograph frontal angle.jpg|'''Figura 3:''' Rappresentazione dei tracciati cinematici masticatori sul piano coronale
-File:Final HA 10.jpg|'''Figura 4:''' Rappresentazione dei tracciati cinematici masticatori sul piano assiale
-</gallery>Ovviamente, la stessa procedura geometrica matematica impiegata per il condilo laterotrusivo sarà utilizzata anche per il condilo mediotrusivo ma noteremo delle caratteristiche essenziali che descrivo il fenomeno laterotrusivo dal mediotrusivo ed i corrispottivi tracciati condizionati sulle aree occlusali.
-<blockquote>Questa prima descrizione rappresenta solo il primo livello di complessità perchè i movimenti dei condili laterotrusivo e mediotrusivo si influenzano reciprocamente durante i cicli masticatori. Il condilo laterotrusivo esegue una rototraslazione lungo un arco che descrive una combinazione di rotazione attorno all'asse verticale <math>_vHA</math> ed uno spostamento laterale. Al contrario, il condilo mediotrusivo si sposta principalmente medialmente e anteriormente. Descriviamone la dinamica </blockquote>
+'''<math>5L_c</math>:'''
+<math>d = \sqrt{(38.4 - 58.3)^2 + (-136.2 - (-50.9))^2} = \sqrt{(-19.9)^2 + (-85.3)^2} = \sqrt{396.01 + 7275.09} \approx 87.6 \, \text{pixel}</math>
+<math>d = 87.6 \cdot 0.04184 \approx 3.66 \, \text{mm}</math>
-La rotazione del condilo laterotrusivo attorno all'asse <math>Z</math> (verticale) è descritta matematicamente utilizzando una trasformazione lineare nel piano trasversale <math>(X, Y)</math>. Questa trasformazione è rappresentata dalla seguente matrice di rotazione:
+'''<math>6L_c</math>:'''
-<math>
+<math>d = \sqrt{(36.4 - 58.3)^2 + (-48.2 - (-50.9))^2} = \sqrt{(-21.9)^2 + (2.7)^2} = \sqrt{479.61 + 7.29} \approx 22.06 \, \text{pixel}</math>
-R_\psi = \begin{pmatrix}
+<math>d = 22.06 \cdot 0.04184 \approx 0.923 \, \text{mm}</math>
-\cos(\psi) & -\sin(\psi) \\
-\sin(\psi) & \cos(\psi)
-\end{pmatrix}
-\cdot
-\begin{pmatrix}
-X_L \\
-Y_L
-\end{pmatrix}
-</math>
-Dove:
+'''<math>7L_c</math>:'''
-*<math>\psi</math> rappresenta l'angolo di rotazione attorno all'asse <math>Z</math> (asse verticale).
-*<math>(X_L, Y_L)</math> sono le coordinate del condilo laterotrusivo nel piano trasversale.
-Questo descrive il cambiamento di posizione del condilo laterotrusivo nel piano <math>(X, Y)</math> dovuto alla rotazione angolare.
+<math>d = \sqrt{(44 - 58.3)^2 + (-34.9 - (-50.9))^2} = \sqrt{(-14.3)^2 + (16)^2} = \sqrt{204.49 + 256} \approx 21.47 \, \text{pixel}</math>
+<math>d = 21.47 \cdot 0.04184 \approx 0.898 \, \text{mm}</math>
-Il condilo mediotrusivo, invece, si muove principalmente con una traslazione nello spazio tridimensionale, lungo i piani trasversale e sagittale, generando un tragitto noto come "Tragitto orbitante". La traslazione è descritta dal seguente vettore:
+'''<math>8L_c</math>:'''
-<math>
+<math>d = \sqrt{(52.9 - 58.3)^2 + (-48 - (-50.9))^2} = \sqrt{(-5.4)^2 + (2.9)^2} = \sqrt{29.16 + 8.41} \approx 6.13 \, \text{pixel}</math>
-T_M(t) =\begin{pmatrix}
-X_M(t) \\
-Y_M(t) \\
-Z_M(t)
-\end{pmatrix}
-</math>
-Dove:
+<math>d = 6.13 \cdot 0.04184 \approx 0.257 \, \text{mm}</math>
-* <math>(X_M(t), Y_M(t), Z_M(t))</math> rappresentano le coordinate temporali del condilo mediotrusivo nello spazio cartesiano tridimensionale.
-<blockquote>Questa traslazione rappresenta il movimento anteriore e mediale del condilo mediotrusivo principalmente lineare ed è per questo che non compare la matrice rotazionale ma potrebbe anche incorporare una rotazione attorno all'asse <math>Z</math> (asse verticale) influenzando significativamente la dinamica complessiva del ciclo masticatorio. Questo tipo di rotazine aggiuntiva al fenomeno orbitante è difficile da comprendere perchè è di minima entità angolare ma vedremo, in seguito, l'influenza che ha sui tracciati occlusali.</blockquote>