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3.2. Formalisme de Von Neumann pour les observables quantiques

Dans le formalisme quantique original (Von Neumann, 1955), l'observable physique $A$ est représenté par un opérateur Hermitien ${\hat {A}}$. Nous ne considérons que les opérateurs avec des spectres discrets : ${\hat {A}}=\sum _{x}x{\hat {E}}^{A}(x)$ où ${\hat {E}}^{A}(x)$ est le projecteur sur le sous-espace de ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ correspondant à la valeur propre ${\textstyle x}$. Supposons que l'état du système est représenté mathématiquement par un opérateur de densité ${\textstyle \rho }$. Alors la probabilité d'obtenir la réponse ${\textstyle x}$ est donnée par la Règle née

${\textstyle Pr\{A=x||\rho \}=Tr[{\widehat {E}}^{A}(x)\rho ]=Tr[{\widehat {E}}^{A}(x)\rho {\widehat {E}}^{A}(x)]}$

$(5)$

et selon le postulat de projection, l'état post-mesure est obtenu via la transformation d'état :

${\textstyle \rho \rightarrow \rho _{x}={\frac {{\widehat {E}}^{A}(x)\rho {\widehat {E}}^{A}(x)}{Tr{\widehat {E}}^{A}(x)\rho {\widehat {E}}^{A}(x)}}}$

$(6)$

Pour la commodité du lecteur, nous présentons ces formules pour un état initial pur ${\textstyle \psi \in {\mathcal {H}}}$. La règle de Born a la forme :

${\textstyle Pr\{A=x||\rho \}=||{\widehat {E}}^{A}(x)\psi ||^{2}=<\psi \mid {\widehat {E}}^{A}(x)\psi >}$

$(7)$

La transformation d'état est donnée par le postulat de projection :

${\textstyle \psi \rightarrow \psi _{x}={\widehat {E}}^{A}(x)\psi /\parallel {\widehat {E}}^{A}(x)\psi \parallel }$

$(8)$

Ici, l'opérateur observable ${\hat {A}}$ (sa décomposition spectrale) détermine de manière unique les transformations d'état de rétroaction ${\textstyle {\mathcal {\Im }}_{A}(x)}$ pour les résultats ${\textstyle x}$

${\textstyle \rho \rightarrow \Im _{A}(x)\rho ={\widehat {E}}^{A}(x)\rho {\widehat {E}}^{A}(x)}$

$(9)$

La carte ${\textstyle \rho \rightarrow \Im _{A}(x)}$ donnée par (9) est l'exemple le plus simple (mais très important) d'instrument quantique.