|
|
| Line 73: |
Line 73: |
|
| |
|
| '''Conclusione'''[[File:Conica.jpg|300x300px|'''Figura 7a:''' Rappresentazione generica di conica, segue descrizione dettagliata.|thumb]]In conclusione, la combinazione di rotazione e traslazione dei condili durante i movimenti mandibolari impedisce ai tracciati dei molari e degli incisivi di essere semplici archi di cerchio. Invece, questi tracciati assumono forme ellittiche, poiché il centro di rotazione istantaneo dei condili si sposta continuamente a causa del moto rototraslazionale complesso. Per comprendere meglio la complessità delle traiettorie, è stato costruito un modello matematico basato su una conica passante per cinque punti strategicamente scelti, come illustrato nella figura 7a e approfondito nel prossimo paragrafo. | | '''Conclusione'''[[File:Conica.jpg|300x300px|'''Figura 7a:''' Rappresentazione generica di conica, segue descrizione dettagliata.|thumb]]In conclusione, la combinazione di rotazione e traslazione dei condili durante i movimenti mandibolari impedisce ai tracciati dei molari e degli incisivi di essere semplici archi di cerchio. Invece, questi tracciati assumono forme ellittiche, poiché il centro di rotazione istantaneo dei condili si sposta continuamente a causa del moto rototraslazionale complesso. Per comprendere meglio la complessità delle traiettorie, è stato costruito un modello matematico basato su una conica passante per cinque punti strategicamente scelti, come illustrato nella figura 7a e approfondito nel prossimo paragrafo. |
|
| |
|
| |
| === Rappresentazione cinematica attraverso una conica===
| |
|
| |
|
| |
| Per rappresentare in modo più dettagliato e formale la forma ellittica dei tracciati dei denti dovuti al moto rototraslazionale dei condili, possiamo sovrapporre una conica (ellisse) a più punti. Questo ci permetterà di evidenziare il contributo dei movimenti dei condili laterotrusivo e mediotrusivo, nonché delle distanze occlusali da essi, nella generazione di tali tracciati pseudoellittici.
| |
|
| |
| Consideriamo ad esempio il tracciato del molare ipsilaterale durante la laterotrusione. Supponiamo di avere le coordinate di 5 punti distinti su questo tracciato: <math>(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3), (x_4, y_4), (x_5, y_5)</math>.
| |
|
| |
| L'equazione generale di un'ellisse centrata nell'origine è data da:
| |
|
| |
| <math>
| |
| \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
| |
| </math>
| |
|
| |
| Dove <math>a</math> e <math>b</math> sono rispettivamente i semiassi maggiore e minore dell'ellisse.
| |
|
| |
| Per determinare i valori di <math>a</math> e <math>b</math> che meglio approssimano i 5 punti dati, possiamo utilizzare il metodo dei minimi quadrati. L'obiettivo è minimizzare la somma dei quadrati delle distanze dei punti dall'ellisse.
| |
|
| |
| Definiamo la funzione di costo:
| |
|
| |
| <math>
| |
| J(a, b) = \sum_{i=1}^5 \left[ \left( \frac{x_i^2}{a^2} + \frac{y_i^2}{b^2} - 1 \right)^2 \right]
| |
| </math>
| |
|
| |
| Minimizzando <math>J(a, b)</math> rispetto a <math>a</math> e <math>b</math>, otteniamo le stime ottimali dei semiassi <math>a</math> e <math>b</math> che approssimano al meglio i punti dati.
| |
|
| |
| Questa ellisse ottimizzata rappresenterà il tracciato pseudoellittico del molare ipsilaterale, influenzato dai movimenti rototraslazionali dei condili laterotrusivo e mediotrusivo, nonché dalle distanze occlusali da essi.
| |
|
| |
| I semiassi <math>a</math> e <math>b</math> dell'ellisse saranno determinati dai pesi relativi dei contributi dei condili e delle distanze occlusali. Ad esempio, un valore di <math>a</math> maggiore potrebbe indicare un'influenza più significativa del condilo laterotrusivo, mentre un valore di <math>b</math> più piccolo potrebbe suggerire un'influenza minore del condilo mediotrusivo o delle distanze occlusali.
| |
|
| |
| Questo approccio può essere applicato anche ai tracciati degli incisivi e dei molari controlaterali, sovrapponendo ellissi ottimizzate ai rispettivi punti per ottenere una rappresentazione formale dei loro tracciati pseudoellittici.
| |
|
| |
| In questo modo, l'analisi matematica dei tracciati dei denti durante la masticazione può essere arricchita con una rappresentazione visiva più dettagliata e quantitativa, permettendo di studiare in modo più approfondito il contributo dei diversi fattori cinematici, come i movimenti dei condili e le distanze occlusali, nella generazione di tali tracciati complessi.
| |
|
| |
| ====La scelta della conica a 5 punti====
| |
| La scelta di una conica a 5 punti rappresenta un approccio matematico e geometrico efficace per modellare i tracciati articolari reali rispetto a un'ellisse ideale.
| |
|
| |
| '''Definizione della conica'''
| |
|
| |
| Una conica è una curva definita in geometria analitica come il luogo dei punti che soddisfano un'equazione quadratica generale:<math>Ax^{2} + Bxy + Cy^{2} + Dx + Ey + F = 0</math>
| |
|
| |
| Dove:
| |
| * <math>A, B, C, D, E, F</math> sono coefficienti reali determinati dai punti dati.
| |
|
| |
| La forma della conica (ellisse, parabola o iperbole) dipende dal discriminante:
| |
| *Ellisse se <math>B^{2} - 4AC < 0</math>
| |
| *Parabola se <math>B^{2} - 4AC = 0</math>
| |
| * Iperbole se <math>B^{2} - 4AC > 0</math>
| |
| '''Perché 5 punti?'''
| |
|
| |
| Una conica è univocamente determinata da 5 punti distinti e non allineati. Questo significa che se conosci 5 punti sperimentali, puoi ricostruire una sola conica che passa per quei punti.
| |
|
| |
| *Univocità: La conica è unica per 5 punti non allineati.
| |
| *Adattabilità: Si adatta meglio ai dati sperimentali rispetto a un'ellisse ideale.
| |
| *Flessibilità: Modella tracciati complessi, asimmetrici o irregolari, tipici della cinematica mandibolare.
| |
|
| |
| ===Costruzione delle coniche specifiche ===
| |
| Abbiamo costruito coniche specifiche per diverse aree della traiettoria mandibolare e, comunque, a secondo di cosa si vuole analizzare l'ordine dei punti prescelti può essere cambiato:
| |
|
| |
| '''Conica del molare laterotrusivo'''
| |
|
| |
| La conica è stata costruita utilizzando 5 punti chiave lungo il tracciato sperimentale del molare laterotrusivo
| |
| *<math>P_{1} = (68.3, -50.9)</math>
| |
| * <math>P_{2} = (58.3, -50.9)</math>
| |
| *<math>P_{3} = (345.2, -844.5)</math>
| |
| *<math>P_{4} = (255.7, -816)</math>
| |
| *<math>P_{5} = (509.6, -1139.9)</math>
| |
| '''Conica dell'incisivo'''
| |
|
| |
| La conica è stata determinata utilizzando punti significativi lungo la traiettoria reale dello '<<<Incisivo':
| |
| *<math>P_{1} = (509.6, -1139.9)</math>
| |
| *<math>P_{2} = (631.5, -1151.8)</math>
| |
| *<math>P_{3} = (68.3, -50.9)</math>
| |
| *<math>P_{4} = (58.3, -50.9)</math>
| |
| *<math>P_{5} = (910.7, -856.2)</math>
| |
| '''Conica del molare mediotrusivo'''
| |
|
| |
| La conica è stata generata per il 'molare mediotrusivo' usando i seguenti punti chiave:
| |
| *
| |
| <math>P_{1} = (910.7, -856.2)</math>
| |
| * <math>P_{2} = (818.8, -855.1)</math>
| |
| *<math>P_{3} = (68.3, -50.9)</math>
| |
| *<math>P_{4} = (58.3, -50.9)</math>
| |
| *<math>P_{5} = (345.2, -844.5)</math>
| |
|
| |
| ===Costruzione della conica unificata===
| |
| Per ottenere una visione complessiva (Fig.7b), si è calcolato una 'conica unificata' a partire dalle coniche specifiche. Questa conica è stata costruita mediando i coefficienti delle coniche delle diverse aree:
| |
|
| |
| <math>{\text{Coefficienti Conica Unificata}} = {\frac {{\text{Coeff}}_{\text{molare laterotrusivo}} + {\text{Coeff}}_{\text{incisale}} + {\text{Coeff}}_{\text{molare mediotrusivo}} + {\text{Coeff}}_{\text{condilo mediotrusivo}}}{4}}</math>
| |
|
| |
| L'equazione risultante è:
| |
|
| |
| <math>Ax^{2} + Bxy + Cy^{2} + Dx + Ey + F = 0</math>
| |
|
| |
| (dove i coefficienti verranno calcolati sulla base dei punti definitivi).
| |
| [[File:Conica.jpg|600x600px|'''<small>Figura 7b:</small>''' <small>Rappresentazione della conica passante per 5 punti strategicamente scelti come descritto nel testo. Notare la discrepanza tra i vettori ed il passaggio della conica che indica il diverso condizionamento della componente traslatoria da quella rotatoria. Effetto che si nota maggiormente sul condilo mediotrusivo.</small>|center|thumb]]
| |
|
| |
|
| |
|
| |
| '''Applicazione della conica per individuare punti cinematici'''
| |
|
| |
| Utilizzando la conica del molare laterotrusivo, è possibile 'prevedere il punto <math>7L_c </math> (condilo laterotrusivo) conoscendo due punti di riferimento (es. punto iniziale e finale sul tracciato molare). Questo approccio permette di determinare con precisione dove cade il punto condilare laterotrusivo sulla conica e utilizzare la conica come strumento per analizzare deviazioni e adattamenti nei tracciati mandibolari reali.
| |
| ===Riflessioni finali===
| |
| La costruzione delle coniche a 5 punti ha permesso di modellare con precisione i tracciati sul Molare laterotrusivo, Incisivo e Molare mediotrusivo. L'uso della 'Conica Unificata' ha offerto una visione globale, ma per una maggiore precisione, le 'coniche specifiche' risultano più adatte per localizzare punti chiave come il punto <math>7L_c </math>.
| |
| ====Analisi geometrica e matematica del discostarsi dei vettori dalla conica====
| |
| '''Vettore molare laterotrusivo ipsilaterale'''
| |
|
| |
| Il molare 'laterotrusivo ipsilaterale' mostra un comportamento quasi coincidente con il passaggio della conica. Questo fenomeno si spiega con la 'relazione diretta tra il condilo laterotrusivo e il molare ipsilaterale', poiché la 'rotazione del condilo laterotrusivo' attorno all'asse verticale produce una traiettoria ellittica regolare e la traslazione del condilo laterotrusivo lungo una traiettoria definita genera variazioni che rimangono vincolate alla conica. Matematicamente, considerando la conica com<math>Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0</math>
| |
|
| |
| e il vettore posizione del molare laterotrusivo come <math>\mathbf{r}_{L_m}(t) = (x_{L_m}(t), y_{L_m}(t))</math>il discostarsi del vettore è determinato dal residuo:
| |
|
| |
| <math>R_{L_m} = A(x_{L_m})^2 + Bx_{L_m}y_{L_m} + C(y_{L_m})^2 + Dx_{L_m} + Ey_{L_m} + F</math>
| |
|
| |
| Essendo <math>R_{L_m} \approx 0</math>, il vettore segue quasi perfettamente il passaggio della conica.
| |
|
| |
|
| |
|
| |
| '''Vettore molare controlaterale (mediotrusivo)'''
| |
|
| |
| Il molare 'controlaterale' (mediotrusivo) si discosta maggiormente dalla conica. Questo fenomeno si verifica perché il condilo compie un movimento prevalentemente traslatorio con una componente minima di rotazione e la traiettoria del molare controlaterale risente delle variazioni angolari complesse del condilo mediotrusivo, generando deviazioni dal piano della conica. Geometricamente, la traiettoria del molare mediotrusivo non segue perfettamente la conica a causa delle componenti traslazionali che deviano il tracciato rispetto alla curva ellittica ideale.
| |
|
| |
| Matematicamente, il residuo per il molare mediotrusivo dato da<math>R_{M_m} = A(x_{M_m})^2 + Bx_{M_m}y_{M_m} + C(y_{M_m})^2 + Dx_{M_m} + Ey_{M_m} + F</math>
| |
|
| |
| con<math>|R_{M_m}| > |R_{L_m}|</math>dimostra un maggiore scostamento rispetto alla conica.
| |
|
| |
|
| |
|
| |
| '''Vettore incisale'''
| |
|
| |
| Il vettore incisale si colloca in una posizione intermedia rispetto ai molari ipsilaterali e controlaterali. Questo perchè gli 'incisivi' sono influenzati dalla combinazione dei movimenti del condilo laterotrusivo e del condilo mediotrusivo. La traiettoria degli incisivi segue una curva regolare ma leggermente deviata rispetto alla conica. Matematicamente,il residuo per il vettore incisale è dato da<math>R_I = A(x_I)^2 + Bx_Iy_I + C(y_I)^2 + Dx_I + Ey_I + F</math>con<math>|R_{L_m}| < |R_I| < |R_{M_m}|</math>dimostrando che il vettore incisale si discosta più del molare ipsilaterale ma meno del molare controlaterale.
| |
| {{q2|Why is the patient's key the REAL one?|Answer: Consider the Gate Control phenomenon.}}
| |
|
| |
|
| ==Conclusioni== | | ==Conclusioni== |